Funktion mit Parametern

05.04.2013, 13:09

drehsie

Funktion mit Parametern

Meine Frage:
Also ich verstehe eigentlich garnichts und habe keine ahnugn wie man eine funktion mit parameter wie diese und die dazugehörigen aufgabeemn löst.
ich hofef ihr kuckt einfach mal eine ansätze an und sagt mir ob die richtig / falsch sind . und könnt mir für die falschen aufgaen und die wo ich nicht weiter weiß einen lösungsansatz bieten smile

Meine Ideen:
Zeichenerklärung : t^3 = t hoch 3 ; 3/4 = dreiviertel (/=Bruchstrich)

a) Schnittpunkt x-achse : Sx (t^3-8)^1/3

Extrema: f ` (x)= -3x^2 / 4tx^2
f ` (x)= 0
X = 0
f ? ( 0 ) = 0
das verstehe ich nicht ? Dann wäre es weder Hoch - noch Tiefpunkt ?
Ist das ein Sattelpunkt ?

Wendestelle : f ? (x) = -3x / 2tx^2
habe dann f``` (x) = 0 gesetzt
und für x = 0 herausbekommen , wollte dann mit hilfe der 3. ableitung überprüfen ob es überhaupt eine Wendestelle gibt, jedoch spuckt mir der Taschenrechner beim 0 setzen der 3.ableitung nur die 3. ableitung unverändert aus.
f````(x) = -3 / 2tx^2

b) bei aufgabe b finde ich leider garkeinen lösungsansatz , da ich nicht verstehe wie ich mit x=u umgehen soll
und bei K ist ja auch noch t drine. aufjedenfall verstehe ich das mit den ganzen variablen und parametern nicht mehr

c)
ich wollte erstmal die tangente an Kt bestimmen und habe also den xwert des punktes b (2/t) in die erste ableitung der funktion f eingesetzt:
f´(2/t) = -3/ tx^2 * t^2 dies ist das ergebnis.. , das wäre also der anstieg der tangente ( das * bedeutet mal )
also y = mx+n
0 = ( -3/tx^2 * t^2 ) mal 2/t + n
für n habe ich dann - 6 / tx^2 * t^3 herausbekommen...

also wäre die tangetengleichung y = -3 / tx^2 * t^2 *x - 6 / tx^2 * t^3
für P den schnittpunkt mit der y-achse müsste ich die x in der tangetengleichung 0 setzen
tue ich dies mit meinem taschenrechner sagt er mir es wäre undefiniert.

d )
ich dachte um den sschnittpunkt zwischen g(x) und y zu errechnen könnte man die beiden gleichsetzen
also ln(x-1)=0.25x und dies nach x auflösen, dafür habe ich 2 lösungen bekommen : x= 3,3 und x= 7,5
da das intervall zwischen 3 und 4 liegt könnte also x= 3,3 richtig sein als punkt? wenn mein rechenweg von der idee mit dem gleichsetzen her richtig ist .
bei dem 2. teil verstehe ich nicht wie ich das berechne wenn x > 5 sein soll. also es könnte ja eben alles über 5 sein. ich kann ja nicht alle möglcihen zahlen bis wohin auch imemr für x eisnetzen ?
und was ist eine abszisse ?

Bild im Anhang verkleinert und gedreht. Steffen

05.04.2013, 13:48

Steffen Bühler

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RE: Funktion mit Parametern
Willkommen im Matheboard!

Kümmern wir uns erst einmal um Teil a.

Schnittpunkt x-Achse
Im Schnittpunkt mit der x-Achse hat der y-Wert, also ft(x) einen ganz bestimmten Wert. Wie groß ist der? Wie bestimmt man dann den Punkt?

Extrema
Für die Ableitung musst Du die Quotientenregel anwenden. Wie lautet die? Wie lautet also die erste Ableitung?

Wendestelle
Auch hier ist die Quotientenregel zu benutzen.

Asymptoten
Was macht die Funktion für x gegen plus und minus Unendlich? Gibt es "verbotene" x-Werte?

Viele Grüße
Steffen

05.04.2013, 14:02

Integralos

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Hallo,

also bei der a)
erstmal zum Schnittpunkt mit der x-Achse, den erhältst du, wenn du
$\begin{eqnarray*} t^3x^3-8=0 \end{eqnarray*}$
setzt. Deine Lösung solltest du nochmal überprüfen.

Deine 1. Ableitung scheint nicht zu stimmen.
Zerlege
$\begin{eqnarray*} \frac{t^3x^3-8}{4tx^2}=\frac{t^2x}{4}-\frac{2}{tx^2} \end{eqnarray*}$ ,
leite das ab dann ersparst du dir die fehleranfällige Quotientenregel.

Die Fehler der 2. Abl. sind dann leider Folgefehler aus der 1. Abl.

zur b)
Du hast in der a) den Graphen doch gezeichnet. Stell die Situation doch mal graphisch dar. u ist einfach eine variable Integrationsgrenze. Wenn du genau liest, weißt du, dass von $\begin{eqnarray*} K_1 \end{eqnarray*}$ und nicht von $\begin{eqnarray*} K_t \end{eqnarray*}$ bei demGraphen die Rede ist. Für diese Aufgabe ist also t=1. Schön, schonmal ein Buchstabe weg. Jetzt musst du die Flächengleichheit irgendwie unter einen Hut bringen. Aus der Skizze sollte dann ersichtlich sein, dass du ansetzen kannst mit

$\begin{eqnarray*} \int_2^u \! f_1(x) \, dx = \int_2^u \! y(x) \, dx - \int_2^u \! f_1(x) \, dx \end{eqnarray*}$

Wie es jetzt weitergeht, sollte klar sein.

c)
vermutlich wieder eine Folge der falschen Ableitung.
Ansonsten hast du richtig erkannt, dass man zunächst die Tangentengleichung aufstellen muss. Dann könntest du z.B. die Koordinaten von P und Q bestimmen und beispielsweise
$\begin{eqnarray*} |\vec{PQ}| \end{eqnarray*}$
als Funktion von t sehen und minimieren.
Da führen aber viele Wege nach Rom.

d)
Hast du eine Funktion f(x), dann ist die Achse, auf der du die x-Werte aufträgst die Abszisse.

Ich denke nichtmal, dass du konkret die Schnittpunkte berechnen sollst. Es heisst ja nur, man soll zeigen, dass genau einer in gegebenem Intervall existiert. Hierbei
könntest du z.B. über die strenge Monotonie der Funktionsgraphen argumentieren und das Intervall, in dem der Schnittpunkt liegen muss, dadurch bestimmen.

Viele Grüße

05.04.2013, 15:30

ich wieder

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also erstmal vielen vielen dank smile

also diese blöde ableitung blockiert bei mir immernoch alles :/
also wenn ich das ganz normal nach quotientenregel mache ( die gibts ja auch noch! danke für den tipp Big Laugh

)
dann komme ich auf $\begin{eqnarray*} \frac{3tx^{3}\cdot3x^{2}\cdot 4tx - x\cdot t^{3}\cdot x^{3}-8}{(4tx)^{2} } \end{eqnarray*}$

so wie du das machst mit dem zerlegen geht bestimmt 1mio mal einfach aber da weiß ich dann nicht mehr wie ich ableite ... :/ leite ich dann nur den zähler ab? das wäre ja irgendwie... komsich aber wenn ich denn nenner ableite bleibt ja bei dem ersten bruch unten eine 0 stehen, weil eine konstante abgeleitet?abgelitten? ja 0 ergibt?
wenn ich $\begin{eqnarray*} \frac{t^{2} x}{4} \end{eqnarray*}$ ableite kommt ja das raus : $\begin{eqnarray*} \frac{t^{2} x}{4} \end{eqnarray*}$

bzw. weißnich garnicht ob das t stehen bleibt. weil t ja ne konstante ist. und konstante werden beim ablieten 0. und ich bin so verwirrt von dem ganzen shit hier...

und wenn ich dein zerlegtes so ableite wie ich denke kommt das raus:
$\begin{eqnarray*} \frac{2tx}{4} - t2x \end{eqnarray*}$

05.04.2013, 15:36

Steffen Bühler

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Ich schlage vor, dann bleiben wir bei der Quotientenregel, auch wenn sie schnell zu Fehlern führt, wie leider auch in Deinem Fall.

Aber mit Konzentration solltest Du's hinbekommen. Denk dran, t ist eine Konstante! Also:

$\begin{eqnarray*} \frac{t^3x^3-8}{4tx^2} = \frac {u(x)}{v(x)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \to \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{(v(x))^2} = ... \end{eqnarray*}$

Viele Grüße
Steffen

05.04.2013, 15:39

drehsie

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also fällt t einfach weg beim ableiten wie ich auch dachte?

05.04.2013, 15:42

Steffen Bühler

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Nein, eben nicht. Gaaanz langsam:

u(x)=t³x³-8
u'(x)=...

v(x)=4tx²
v'(x)=...

Jetzt Du.

05.04.2013, 16:03

drehsie

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also
u´= 3t3x
v` = 4t2x (?)
oder zieh ich das ^2 ganz nach vorne also 6tx?

also :
f1(x) = $\begin{eqnarray*} \frac{3t3x\cdot 4tx^{2} - 4t2x\cdot t^{3} x^{3} -8}{(4tx)^{2} } \end{eqnarray*}$

05.04.2013, 16:10

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von drehsie
u´= 3t3x

Fast. Die Ableitung von x³ ist nicht 3x, sondern...? Und es wird nicht nach t abgeleitet, sondern nur nach x. Wenn da t³ als Faktor davorsteht, bleibt das dann auch so stehen.

Und wenn Du den Bruch dann richtig hingeschrieben hast, kannst Du erst einmal gegen das x^4 im Nenner kürzen.

05.04.2013, 16:25

drehsie

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avhso ja na klar hab nur hoch 2 vergessen. ^^
also nochmal berichtigt:
$\begin{eqnarray*} \frac{t^{3} 3x^{2}\cdot 4tx^{2} - 4t2x\cdot t^{3}x^{3}-8 }{(4tx)^{2} } \end{eqnarray*}$

udn dann dachte ich ich könnte ja kürzen , aber da steht da das - dazwischen ! und dann kann man doch nicht kürzen oder?

05.04.2013, 16:40

Steffen Bühler

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Noch ein kleiner Fehler drin - Konzentration ist wirklich wichtig dabei!

Beim Term v'(x)u(x) musst Du mit dem gesamten u(x) malnehmen, Du musst also t³x³-8 in Klammern setzen!

Und im Nenner steht nicht v(x)².

Dann lässt sich jedenfalls ein x herauskürzen, das erleichtert das Nullsetzen des Zählers.

05.04.2013, 16:44

drehsie

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? das mit dem nenner verstehe ich nicht also die quotientenformel die wir hatten lautet so : $\begin{eqnarray*} \frac{u'v-v'u}{v^{2} } \end{eqnarray*}$

05.04.2013, 16:46

Steffen Bühler

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Ja, aber v(x)=4tx², und das Quadrat davon ist...

PS: Ich muss jetzt leider gehen und kann Dir auch nicht versprechen, dass ich am Wochenende dazu komme, hier vorbeizuschauen. Vielleicht kann Dir Integralos oder auch jemand anders weiter helfen.

Viele Grüße
Steffen

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