Auflösbarkeit von Gruppen

05.04.2013, 13:35	yuri	Auf diesen Beitrag antworten »
Auflösbarkeit von Gruppen Meine Frage: Hi Leute! Schon mal vorab vielen Dank für eure Hilfe Ich versuche Gerade die Definition von auflösbaren Gruppen zu verstehen. Die mir vorliegende Defitnition Lautet folgendermaßen: Eine Gruppe G heißt auflösbar, wenn es einen Gruppenturm von Untergruppe gibt mit: $\begin{eqnarray} {e}= G_m \subset ...\subset G_0 = G \end{eqnarray}$ so dass: $\begin{eqnarray} G_{i+1} \end{eqnarray}$ Normalteiler in $\begin{eqnarray} G_i \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} G_i/G_{i+1} \end{eqnarray}$ abelsch ist. Fragen: 1. Ist nun jede abelsche Gruppe G (nicht trivial) auflösbar? 2. Was bedeutet es genau das $\begin{eqnarray} G_i/G_{i+1} \end{eqnarray}$ abelsch sein soll? 3. Kennt vllt jemand ein schöneres Beispiel als die Permutationsgruppe S_n mit n < 5 die auflösbar ist zum "durchrechnen"? Meine Ideen: Zu 1: Es ist doch trivialerweise {e} ein Normalteiler bzgl. G, d.h. mit $\begin{eqnarray} {e} \subset G \end{eqnarray}$ habe ich doch eine solchen Gruppenturm gefunden, da aus dem Isomorphiesatz folgt: G/{e} ist isomorph zu G ist also auch abelsch. Zu 2: Mit ist klar das $\begin{eqnarray} G_i/G_{i+1} := \left\{ gG_{i+1}\| g \in G_i \right\}. \end{eqnarray}$ Da doch aber schon nach Vorraussetzung $\begin{eqnarray} G_{i+1} \end{eqnarray}$ Normalteiler von $\begin{eqnarray} G_i \end{eqnarray}$ ist induziert dies doch schon eine Gruppenstruktur der Faktorgruppe. Und diese kann doch nur abelsch sein wenn G abelsch ist oder irre ich mich da?
05.04.2013, 13:51	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Auflösbarkeit von Gruppen Hallo yuri, Zu 1): Stimmt. Zu 2): Wenn $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ schon abelsch ist, dann sind natürlich auch alle auftretenden Faktorgruppen in dieser Reihe abelsch. Aber $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ muss ja eben nicht abelsch sein. Letztlich kann man so einen Turm immer weiter verfeinern, bis alle auftretenden Faktorgruppen keine nichttrivialen Normalteiler mehr haben (d.h. sie sind einfach) Diese sind dann entweder zyklisch von Primzahlordnung oder eine nichtabelsche einfache Gruppe. Auflösbar zu sein heißt also, dass man nirgendwo eine nichtabelsche einfache Gruppe als Faktor findet. Zu 3): Ich denke, dass die kleinen $\begin{eqnarray} S_n \end{eqnarray}$ schon mit die einsteigerfreunlichten Beispiele bilden. Vor allem ist die Konjugation in diesen Gruppen sehr einfach zu verstehen, weshalb man auch ganz gut Normalteiler finden kann. Gruß Reksilat
05.04.2013, 13:54	Bruder	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey yuri, eine äquivalente Definition für eine auflösbare Gruppe ist Folgende: Sei $\begin{eqnarray} G'=\Big\langle [g,h]:=g^{-1}h^{-1}gh \mid g,h \in G \Big\rangle \end{eqnarray}$ (Kommutatorgruppe von G )und $\begin{eqnarray} G^{(n)}:={(G^{(n-1)})}' \end{eqnarray}$ . Dann nennt man $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ auflösbar, wenn es ein $\begin{eqnarray} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} G^{(n)}=\{1\} \end{eqnarray}$ . Also ist jede abelsche Gruppe auflösbar, da $\begin{eqnarray} G'=\Big\langle [g,h]:=g^{-1}h^{-1}gh \mid g,h \in G \Big\rangle=\Big\langle [g,h]:=g^{-1}gh^{-1}h \mid g,h \in G \Big\rangle=\{1\} \end{eqnarray}$ . Um $\begin{eqnarray} G' \end{eqnarray}$ zu bestimmen, sollte man sich überlegen, dass $\begin{eqnarray} G' \end{eqnarray}$ der kleinste Normalteiler $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ ist, für den $\begin{eqnarray} G/N \end{eqnarray}$ abelsch ist. Daher ist bei der $\begin{eqnarray} S_n \end{eqnarray}$ für n>4, da die $\begin{eqnarray} A_n \end{eqnarray}$ einfach ist, der kleinste Normalteiler der $\begin{eqnarray} S_n \end{eqnarray}$ mit abelscher Faktorgruppe die $\begin{eqnarray} A_n \end{eqnarray}$ . Die $\begin{eqnarray} A_n \end{eqnarray}$ ist aber definitiv nicht abelsch und daher ist $\begin{eqnarray} (A_n)'=A_n \end{eqnarray}$ und daher nicht auflösbar.

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