Werfen mit drei Würfeln

05.04.2013, 17:00

Roman4884

Werfen mit drei Würfeln

Meine Frage:
Wie groß ist die Chance, daß bei einem wurf mit drei Würfeln alle Würfel die gleiche Zahl zeigen?

Meine Ideen:
Insegesamt gibt es 216 mögliche Kobinationen (6*6*6=216)
111,222, ..., 666 sind insgesamt sechs möglichkeiten, also $\begin{eqnarray*} \frac{6}{216}= \frac{1}{36} = 0,027777 \end{eqnarray*}$ also ca 2,7%

ist das so richtig?

LaTeX-Tags ergänzt. Steffen

05.04.2013, 17:12

Kasen75

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Hallo,

genauso habe ich es auch. Freude

Grüße.

05.04.2013, 17:43

Roman4884

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spitze..

stimmt dann auch:

min. drei Gleiche mit vier Würfeln= die 6 Möglichkeiten * 6 Möglichkeiten beim vierten Würfel = 36 = \frac{36}{1296} = \frac{1}{36}

min. drei Gleiche mit fünf Würfeln = 6 * 6 * 6 = 216 = \frac{216}{7776} = \frac{1}{36}

Die Chancen sollten doch steigen statt konstand zu bleiben...

und was z.T. mache ich beim latex falsch???

05.04.2013, 18:20

Sendoh

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Nein, so lässt sich das nicht schlussfolgern. Es gibt vier Möglichkeiten, bei viermaligen Würfeln drei gleiche Augenzahlen zu treffen bei fester ungleicher, vierter Augenzahl. Des Weiteren werden die sechs Möglichkeiten, vier gleiche Augenzahlen zu treffen, hinzuaddiert. Also:

$\begin{eqnarray*} P(\text{min. 3 gleiche Augenzahlen})=\frac{4\cdot 5\cdot 6+6}{6^4}=\frac{7}{12} \end{eqnarray*}$

Das Problem mit insgesamt fünf Würfeln sei nun dir überlassen.

Edit: @Kasen hatte jetzt 40 min gewartet, ob du antwortest und mir dann die Freiheit genommen

05.04.2013, 18:24

Kasen75

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Um eine korrekte $\begin{eqnarray*} \text{\LaTeX} \end{eqnarray*}$ -Darstellung zu erreichnen, solltest du die Formel makieren und dann auf den f(x)-Button (direkt über dem Eingabefeld) drücken. Dadurch werden die notwendigen Klammern gesetzt.

Die beiden neuen Aufgaben sind irgendwie nicht so spitze gelaufen.
Erste Aufgabe:

Mindestens 3 Gleiche bei vier Würfeln. Das heißt, entweder 3 Gleiche oder 4 Gleiche.

Ich würde hier beide Fälle getrennt betrachten:

3 Gleiche: Hier könnte man sich überlegen, wieviele Möglichkeiten man hat, um jeweils 3 Gleiche zu haben:

g=gleiche Augenzahl
n=nicht gleiche Augenzahl

$\begin{eqnarray*} gggn \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ggng \end{eqnarray*}$
und soweiter $\begin{eqnarray*} ... \end{eqnarray*}$

Hat man alle Kombinationen durch (viele sind es nicht mehr), dann weiß man, wieviele Kombinationen es für 3 gleiche Augenzahlen gibt. Das muss man noch mit 5 multiplizieren, um alle möglichen Nicht-Gleichen zu berücksichtigen.
Des Weiteren, muss man natürlich noch berücksichtigen, dass es 6 Arten von Gleichen gibt

4 Gleiche: Die Anzahl der Möglichkeiten stimmt. Freude

05.04.2013, 18:52

Roman4884

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4stW6:

GGGG=6Möglichkeiten
GGGn=6*5 = 30
GGnG=6*5 = 30
GnGG=6*5 = 30
nGGG=6*5 = 30 = $\begin{eqnarray*} \frac{126}{1296} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{4*5*6+6}{1296} \end{eqnarray*}$

sind bei mir aber $\begin{eqnarray*} \frac{7}{72} \end{eqnarray*}$ = 0.097222 = 9,7%

ich hab den Rechenweg (endlichendlichendlich :dance smile

verstanden.. aber warum bekomm ich nicht $\begin{eqnarray*} \frac{7}{12} \end{eqnarray*}$ raus?? schreibfehler?? ich denke schon , daß mein ergebnis stimmt?!

05.04.2013, 18:58

Kasen75

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Sieht mir auch nach einem Schreibfehler von Sendoh aus.

06.04.2013, 00:03

Sendoh

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In der Tat ein Schreibfehler meinerseits. Aber ich möchte auf folgendes noch eingehen: Bei "schönen" Mengen ist das Abzählen von Kardinalitäten noch tragbar, aber ich rate dir, das kombinatorisch zu lösen.

06.04.2013, 00:41

Roman4884

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ok...

die Lösung kombinatorisch zu lösen muss sein, ist das so richtig, daß ich für die GGGnn $\begin{eqnarray*} \frac{5!}{3!+2!} = 15 \end{eqnarray*}$ mögliche Kombinationen habe??
das hiese $\begin{eqnarray*} \frac{6+6*5*4+6*5*5*15}{7776} = \frac{11}{36} = 0.305555 \end{eqnarray*}$

06.04.2013, 00:56

Sendoh

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Zitat:

die Lösung kombinatorisch zu lösen muss sein, ist das so richtig, daß ich für die GGGnn $\begin{eqnarray*} \frac{5!}{3!+2!} = 15 \end{eqnarray*}$ mögliche Kombinationen habe??

Nein. Warum wird im Nenner addiert?

Zitat:

das hiese $\begin{eqnarray*} \frac{6+6*5*4+6*5*5*15}{7776} = \frac{11}{36} = 0.305555 \end{eqnarray*}$

Den Ausdruck im Zähler kann ich überhaupt nicht nachvollziehen, allenfalls den Summanden 6.
Ich bitte hier, um eine ausreichende Erklärung (und einen anständigen Satzbau).

06.04.2013, 01:50

Roman4884

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GGGGG = 6 Möglichkeiten
+
GGGGn ... nGGGG= 6*5*5* Möglichkeiten (da hatte ich auch einen Fehler im Zähler)
+
GGGnn ... nnGGG=? hier passiert das, was du schon sagtest.. das mans kombinatorisch lösen muss.. grundsätzlich habe ich 5! Möglichkeiten die würfel an zu ordenen..

GGGnn
GGnGn
GnGGn
nGGGn

GGnnG
GnGnG
nGGnG

GnnGG
nGnGG

nnGGG = 6*5*5*10 = $\begin{eqnarray*} \frac{5!}{3!*2!} = 10 \end{eqnarray*}$

heisst: $\begin{eqnarray*} \frac{6+6*5*5+6*5*5*10}{7776} = \frac{23}{108} = 0,212962 \end{eqnarray*}$

1. stimmts jetzt??
2.wie komm ich ohne abzählen an die Ergebnisse??

06.04.2013, 12:59

Sendoh

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Zitat:

Einverstanden.

Zitat:

nnGGG=6*5*5*10= $\begin{eqnarray*} \frac{5!}{3!*2!}=10 \end{eqnarray*}$

Diese Gleichhungskette ist falsch. nnGGG hat 6*5=30 Möglichkeiten. Du meintest sicherlich, dass die Summe der Anzahl der Möglichkeiten deiner aufgelisteten Fälle =6*5*5*10 ist. Und der Faktor 10 sollte ab dem vorletzten Gleichheitszeichen erklärt werden. Aber woher stammen die 5er Faktoren?

06.04.2013, 19:10

Roman4884

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GGG hat grundsätzlich 6Möglichkeiten, aber es macht einen unterschied, ob ich
GGGnn oder
GGGnN

GGGnn bedeutet in dem Fall zwei gleiche zahlen zu dem Drilling, für die ich ja auch wieder nur 5 Möglichkeiten habe (6*5*den möglichen Anordnungen)

GGGnN (6*5*4*den möglichen verschiedenen Anordnungen)

Meine Formel für die Möglichkeiten, die einen Drilling beinhalten lautet also:

$\begin{eqnarray*} \frac{GGGGG+GGGGn+GGGnN+GGGNN}{6^{5} } \end{eqnarray*}$

zu den einzelnen Möglichkeiten sagt mein Kumpel Lothar Papula:
"Unter den n Elementen befinden sich n1, n2,...nk einander gleiche. Es gibt dann
$\begin{eqnarray*} P(n; n1, n2,...nk)=\frac{n!}{n1!n2!...nk!} \end{eqnarray*}$ verschiedne Anordungsmöglichkeiten für die n Elemente"

GGGGG=1

GGGGn= $\begin{eqnarray*} \frac{5!}{4!*1!} = 5 \end{eqnarray*}$

GGGnN= $\begin{eqnarray*} \frac{5!}{3!*1!*1!} = 20 \end{eqnarray*}$

GGGnn= $\begin{eqnarray*} \frac{5!}{3!*2!} = 10 \end{eqnarray*}$

zurück zur Formel:

$\begin{eqnarray*} \frac{6+6*5*5+6*5*4*20+6*5*10}{7776} = \frac{119}{324}= 0.367283 \end{eqnarray*}$

Bitte sag mir, daß das jetzt stimmt sonst fliegt mir der Kopf weg... LOL Hammer

06.04.2013, 19:58

Sendoh

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Sehr gut

, wenn auch formal noch ausbaufähig. Anstatt des letzten Gleichheitszeichen sollte besser noch ein Ungefährzeichen und auf soviele Nachkommastellen zu runden, halte ich für unsinnig. Am besten du belässt es bei der Bruchschreibweise

06.04.2013, 20:11

Roman4884

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Heute ein König..

Sendoh ich danke dir

Mein Interesse an diesem Beispiel beruht auf einem Würfelspiel, ein "Glücksspiel mit der Möglichkeit strategisch zu entscheiden", zunächst beginnt das Spiel mit 6stW6, was die Chance auf einen zweiten Drilling und Straße beinhaltet.. Außerdem haben einzeln und paarweiße geworfene 1er und 5er einen Wert..

Vielleicht schaff ich es jetzt zu errechnen, wie ich meinen Freunden ein Kalkül vorraus bin Big Laugh

07.04.2013, 11:40

Roman4884

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So..
das würfeln einer Straße:

$\begin{eqnarray*} \frac{6*5*4*3*2*1}{6^{6} } = \frac{5}{324} = 0.0154 \end{eqnarray*}$

stimmt das jetzt so..

07.04.2013, 11:48

Sendoh

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Jap

07.04.2013, 19:53

Roman4884

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Die Summe meiner k wäre mehr als n?..

2stW6: In diesem Spiel haben einzeln und paarweiße geworfene 1er und 5er den Wert 100 und 50, ein Drilling ist in noch nicht möglich und so können nur folgende Kombinationen Punkte bringen:

11) 1
+
55) 1
+
15) 2*2
+
1x) 4*2
+
5x) 4*2
=
$\begin{eqnarray*} \frac{22}{36} = \frac{11}{18} = 0,611111 \end{eqnarray*}$

Keine Punkte bringen: alle einzel und paarweiße geworfenen 2er 3er 4er 6er ohne 1er o 5er

xX) 4*3*2

XX) 4

$\begin{eqnarray*} \frac{28}{36} = \frac{7}{9} = 0,777777 \end{eqnarray*}$

Ganz eindeutig habe ich Kombinationen addiert, die eigentlich Schnittmengen sind, aber welche??

Da man bei einem Würfel eine $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ Chance auf Punkte hat, kann man schliesslich auch rechnen:

$\begin{eqnarray*} P(Punkte)= 1-P(keine Punkte) = 1-0,666666^{2} = 0,555556 \end{eqnarray*}$

(deswegen schreibe ich gerne sechs stellen hinter dem Komma, die Folgerechnungen sind einfach präziser)

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