Beweis für belibige Matrizen passender Dimension

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05.04.2013, 20:59	herrmy	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis für belibige Matrizen passender Dimension Hab noch eine AUfgabe wo ich mir nicht sicher bin... Beweisen Sie, dass stets für belibige Matrizen passender Dimension gilt: $\begin{eqnarray} <br /> A\left(B+C\right)= AB+AC <br /> \end{eqnarray}$ Ich habe einfach (2,2) Matrizen genommen und angefangen die Matrizen B und C zu addieren und dann mit A zu multiplizieren. $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix} a11 & a12 \\ a21 & a22\end{pmatrix} \left[\begin{pmatrix} b11 & b12 \\ b21 & b22\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} c11 & c12 \\ c21 & c22\end{pmatrix}\right] = AB + AC <br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix} a11 & a12 \\ a21 & a22\end{pmatrix} * \begin{pmatrix} b11+c11 & b12+c12 \\ b21+c21 & b22+c22 \end{pmatrix} = AB + AC<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix} a11(b11+c11)+a12(b21+c21) & a11(b12+c12)+a12(b22+c22)\\a21(b11+c11)+a22(b21+c21) & a21(b12+c12)+a22(b22+c22) \end{pmatrix} = AB + AC<br /> \end{eqnarray}$ das gleiche auf der anderen Seite $\begin{eqnarray} <br /> AB+AC \Rightarrow \begin{pmatrix} a11b11+a12b21 & a11b12+a12b22\\ a21b11+a22b21 & a21b12+a22b22\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a11c11+a12c21 & a11c12+a12c22\\ a21c11+a22c21 & a21c12+a22c22\end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray}$ und wenn ich beide addiere $\begin{eqnarray} <br /> AB+AC \Rightarrow \begin{pmatrix} a11(b11+c11)+a12(b21+c21) & a11(b12+c12)+a12(b22+c22)\\a21(b11+c11)+a22(b21+c21) & a21(b12+c12)+a22(b22+c22) \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray}$ Also $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix} a11(b11+c11)+a12(b21+c21) & a11(b12+c12)+a12(b22+c22)\\a21(b11+c11)+a22(b21+c21) & a21(b12+c12)+a22(b22+c22) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a11(b11+c11)+a12(b21+c21) & a11(b12+c12)+a12(b22+c22)\\a21(b11+c11)+a22(b21+c21) & a21(b12+c12)+a22(b22+c22) \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray*}$ Habe ich es damit bewiesen??
05.04.2013, 21:52	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis für belibige Matrizen passender Dimension Du sollst die Aussage für beliebige Matrizen passender Dimension zeigen. Das bedeutet, du darfst nicht einfach eine bestimmte Dimension für alle Matrizen festlegen. Allgemein sind $\begin{eqnarray} A\in\mathbb R^{n\times k} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B,C\in\mathbb R^{k\times m} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} n,m,k\in\mathbb N \end{eqnarray}$ . Schreibe dazu den Eintrag an der Stelle $\begin{eqnarray} (i,j) \end{eqnarray}$ beider Seiten der Gleichung auf.
05.04.2013, 22:42	herrmy	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh Gott haben schon spät und ich kann nicht mehr richtig denken... meinst du so? $\begin{eqnarray} <br /> A_{(n,k)}(B_{(k,m)}+C_{(k,m)}) = A_{(n,k)} * B_{(k,m)} + A_{(n,k)} * C_{(k,m)}<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> AB_{(k,k)}+AC_{(k,k)} = AB_{(k,k)}+AC_{(k,k)}<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> AB+AC_{(k,k)} = AB+AC_{(k,k)}<br /> \end{eqnarray*}$
05.04.2013, 22:45	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Was sollen denn diese Indizes sein?
05.04.2013, 23:27	herrmy	Auf diesen Beitrag antworten »
Zeilen und Spalten...
05.04.2013, 23:38	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Und sollen die die Dimension angeben oder steht $\begin{eqnarray} A_{(n,k)} \end{eqnarray}$ für einen bestimmten Matrixeintrag? Letzteres wäre sinnvoller, aber dann solltest du a) nicht nur diesen einen Eintrag betrachten, sondern den an der Stelle $\begin{eqnarray} i,j \end{eqnarray}$ und b) hast du dann die Matrixmultiplikation nicht richtig ausgeführt.
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06.04.2013, 13:57	herrmy	Auf diesen Beitrag antworten »
So ich habe nochmal neu angefangen und rumprobiert: Also gegeben sind die Matrizen: $\begin{eqnarray} <br /> A=(a_{ij}), B=(b_{jk}), C=(C_{jk})<br /> \end{eqnarray}$ Und hier der Beweis: $\begin{eqnarray} <br /> (A(B+C))_{ik} = \sum\limits_{j=1}^n a_{ij}(b+c)_{jk} \\<br /> &= \sum\limits_{j=1}^n a_{ij}(b_{jk}+c_{jk})\\ <br /> &= \sum\limits_{j=1}^n (a_{ij}b_{jk}+a_{ij}c_{jk})\\<br /> &= \sum\limits_{j=1}^n a_{ij}b_{jk} + \sum\limits_{j=1}^n a_{ij}c_{jk}\\<br /> &= (AB)_{ik} + (AC)_{ik} = (AB + AC)_{ik}\\<br /> \end{eqnarray}$ Ich hoffe es so korekt?
06.04.2013, 14:00	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, jetzt stimmt es. Die Dimensionen der Matrizen würde ich aber noch angeben.
06.04.2013, 14:06	herrmy	Auf diesen Beitrag antworten »
So ich habe nochmal neu angefangen und rumprobiert: Also gegeben sind die Matrizen: $\begin{eqnarray} <br /> A=(a_{ij}), B=(b_{jk}), C=(C_{jk})\\<br /> i=1, k=1, j=1<br /> \end{eqnarray}$ Und hier der Beweis: $\begin{eqnarray} <br /> (A(B+C))_{ik} = \sum\limits_{j=1}^n a_{ij}(b+c)_{jk} \\<br /> &= \sum\limits_{j=1}^n a_{ij}(b_{jk}+c_{jk})\\ <br /> &= \sum\limits_{j=1}^n (a_{ij}b_{jk}+a_{ij}c_{jk})\\<br /> &= \sum\limits_{j=1}^n a_{ij}b_{jk} + \sum\limits_{j=1}^n a_{ij}c_{jk}\\<br /> &= (AB)_{ik} + (AC)_{ik} = (AB + AC)_{ik}\\<br /> \end{eqnarray}$ Meinst du so? Und wie bekomme ich es hin die = zu zentrieren?
06.04.2013, 14:09	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieso denn $\begin{eqnarray} i=k=j=1 \end{eqnarray}$ ? Und die Dimensionen hast du immer noch nicht genannt. Insbesondere taucht ein $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ auf, das nirgends definiert wurde. Zur Formatierung: Schreib [latexa] statt [latex] und füge auch vor der erste Gleichheitszeichen ein & ein. Außerdem vermeide Zeilenumbrüche beim Schreiben, ein \\ genügt.
06.04.2013, 14:46	herrmy	Auf diesen Beitrag antworten »
Also gegeben sind die Matrizen: $\begin{align} <br /> A\in\mathbb K^{m\times n}\\<br /> B,C\in \mathbb K^{n\times p}\\<br /> \\<br /> A=(a_{ij}), B=(b_{jk}), C=(C_{jk})\\<br /> \end{align}$ Und hier der Beweis: $\begin{align} <br /> (A(B+C))_{ik} &= \sum\limits_{j=1}^n a_{ij}(b+c)_{jk} \\<br /> &= \sum\limits_{j=1}^n a_{ij}(b_{jk}+c_{jk})\\ <br /> &= \sum\limits_{j=1}^n (a_{ij}b_{jk}+a_{ij}c_{jk})\\<br /> &= \sum\limits_{j=1}^n a_{ij}b_{jk} + \sum\limits_{j=1}^n a_{ij}c_{jk}\\<br /> &= (AB)_{ik} + (AC)_{ik} = (AB + AC)_{ik}\\<br /> \end{align}$ Meinst du so?
06.04.2013, 15:03	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Schon viel besser. Jetzt würden nur noch $\begin{eqnarray} i=1,\dotsc,m \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} k=1,\dotsc,p \end{eqnarray}$ fehlen.
06.04.2013, 15:10	herrmy	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann mal zum Schluss in schön! Also gegeben sind die Matrizen: $\begin{eqnarray} <br /> A\in\mathbb K^{m\times n}\\B,C\in \mathbb K^{n\times p}\\A=(a_{ij}), B=(b_{jk}), C=(C_{jk})\\i=1,...,m\\k=1,...,p<br /> \end{eqnarray}$ Und hier der Beweis: $\begin{align} <br /> (A(B+C))_{ik} &= \sum\limits_{j=1}^n a_{ij}(b+c)_{jk} \\<br /> &= \sum\limits_{j=1}^n a_{ij}(b_{jk}+c_{jk})\\ <br /> &= \sum\limits_{j=1}^n (a_{ij}b_{jk}+a_{ij}c_{jk})\\<br /> &= \sum\limits_{j=1}^n a_{ij}b_{jk} + \sum\limits_{j=1}^n a_{ij}c_{jk}\\<br /> &= (AB)_{ik} + (AC)_{ik} = (AB + AC)_{ik}\\<br /> \end{align}$
06.04.2013, 15:11	herrmy	Auf diesen Beitrag antworten »
bekomme es in schön nicht hin...
06.04.2013, 15:12	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Und da nun die Einträge von $\begin{eqnarray} A(B+C) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} AB+AC \end{eqnarray}$ übereinstimmen, folgt auch $\begin{eqnarray} A(B+C)=AB+AC \end{eqnarray}$ . Edit: Was stört dich denn?
06.04.2013, 15:17	herrmy	Auf diesen Beitrag antworten »
das die gegeben liste so kreuz und quer ist...
06.04.2013, 15:21	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht ist es so schöner: $\begin{align} A&\in\mathbb K^{m\times n}&B,C&\in\mathbb K^{n\times p}\\A&=(a_{ij})&B&=(b_{jk})&C&=(c_{jk})\\i&=1,\dotsc,m&j&=1,\dotsc,n&k&=1,\dotsc,m \end{align}$ Oder du schreibst das ganze als Text, was nochmals schöner wäre
06.04.2013, 15:25	herrmy	Auf diesen Beitrag antworten »
Auch eine gute Idee. Auf jeden fall dank ich dir total!

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