Aufgabe zu Satz von Bayes

06.04.2013, 03:51

owadue

Aufgabe zu Satz von Bayes

Hallo Leute,

ich habe eine Aufgabe, die Lösung habe ich auch jedoch kann ich sie nicht nachvollziehen.

Aufgabe:
Zwei nicht unterscheidbare Gefäße/Urnen, die mit U1 und U2 bezeichnet werden.
In U1 befinden sich 8 Rote und 2 Grüne Kugeln, in U2 4 Rote und 6 grüne.
Es wird nun ein Gefäß zufällig ausgewählt (schritt 1) und daraus eine Kugel gezogen (schritt 2).

a) Wenn Sie feststellen, dass Sie eine Rote Kugel gezogen haben, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese aus U2 stammt?

Folgende Lösung

[attach]29420[/attach]

Frage: wie komme ich unten bei P(u2/R) = auf die 0,4 und die 0,2 im Nenner??

Vielleicht kann jemand die einzelnen Bedeutung der Formel von Bayes einfach erklären?

Vielen Dank

06.04.2013, 06:08

Kasen75

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Hallo,

wenn man die Formel mit den Variablen auf schreibt sieht es so aus:

$\begin{eqnarray*} P(U_2 | R)=\frac{P(R | U_2) \cdot P(U_2)}{P(U_2) \cdot P(R|U_2) +P(\overline{U_2}) \cdot P(R|\overline{U_2}) } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(U_2) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P(\overline{U_2}) \end{eqnarray*}$ sind ja klar. Wobei hier $\begin{eqnarray*} P(\overline{U_2})=P(U_1) \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} P(R|U_2) \end{eqnarray*}$ : Wahrscheinlichkeit, dass eine Kugel rot ist, wenn sie aus Urne 2 stammt.

Jetzt schaut man sich die Kugeln in Urne 2 an. Hier sind es insgesamt 10 Kugeln. 4 davon sind rot. Also ist $\begin{eqnarray*} P(R|U_2)=\frac{4}{10}=0,4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(R|\overline{U_2}) \end{eqnarray*}$ : Wahrscheinlichkeit, dass eine Kugel rot ist, wenn sie nicht aus Urne 2 stammt.

"Nicht aus Urne 2" bedeutet hier einfach "Urne 1", da es sonst keine weiteren Urnen gibt.

In Urne 1 sind 10 Kugeln. 8 davon sind rot.
Somit ist $\begin{eqnarray*} P(R|\overline{U_2})=P(R|U_1)=\frac{8}{10}=0,8 \end{eqnarray*}$

Wenn man jetzt alles einsetzt, kommt man auch zu dem Ausdruck in der Lösung.

Grüße.

06.04.2013, 15:53

owadue

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} P(U_2) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P(\overline{U_2}) \end{eqnarray*}$ sind ja klar. Wobei hier $\begin{eqnarray*} P(\overline{U_2})=P(U_1) \end{eqnarray*}$

Mir ist das nicht so klar, was bedeutet $\begin{eqnarray*} P(\overline{U_2}) \end{eqnarray*}$ generell ?
Das ist doch eigentlich die Komplementärmenge, die Ereignisse aus aus der ergebnismenge, die nicht zu U2 gehören oder? aber welche sind das dann hier?

Zitat:

$\begin{eqnarray*} P(\overline{U_2})=P(U_1) \end{eqnarray*}$

ist das generell immer so? das widerspricht sich doch eigentlich ?

06.04.2013, 16:35

Kasen75

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Genau. $\begin{eqnarray*} \overline{U_2} \end{eqnarray*}$ ist das Komplementärereignis zu $\begin{eqnarray*} U_2 \end{eqnarray*}$ . Insgesamt hast du hier $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U_2 \end{eqnarray*}$ . Also ist $\begin{eqnarray*} \overline{U_2} \end{eqnarray*}$ ("nicht $\begin{eqnarray*} U_2 \end{eqnarray*}$ ") gleich $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$

Somit ist $\begin{eqnarray*} \overline{U_2} \end{eqnarray*}$ : Es wird eine Kugel gezogen, aber nicht aus Urne 2.
Das ist hier gleichbedeutend mit: Es wird eine Kugel aus Urne 1 gezogen.

06.04.2013, 16:40

owadue

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Ok, ich denke ich hab sie verstanden, danke für die Antwort smile

Habe noch eine weitere Aufgabe, die wird wahrscheinlich ähnlich sein...

Wenn Aktienmarkt positive Entwicklung erlebt, ist wahrsch. für Kursanstieg Eisenaktie 90 % , ansonsten 40 %.
Eine positive Entwicklung Aktienmarkt erfolgt mit wahrscheinlichkeit 60%

A) Wahrscheinlichkeitsbaum darstellen

B) wie groß ist wahrscheinlichkeit dass Eisenaktie nicht steigt, obwohl eisenmarkt positiv entwickelt hat.

folgenden Baum hab ich erstellt...

[attach]29437[/attach]

Funktioniert das mit der Rechnung wie eben?

ich hab das mal so wie eben gemacht, das scheint wohl falsch zu sein, muss ich jetzt nur die gesamt wahrscheinlichkeit aufschreiben, die ich auch auf dem baum hinten schon zusammengerechnet habe?

06.04.2013, 16:54

Kasen75

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Poste die Aufgabe bitte nochmal als neues Thema. Ich habe im Moment keine Zeit für eine weitere Aufgabe. Zum Glück gehört ja diese Aufgabe zum Kerngebiet des Boards.

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