Kegelschnitt

06.04.2013, 14:32

AlexL

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Kegelschnitt

Hallo zusammen,

stehe leider gerade auf dem Schlauch bei Umformung einer Gleichung eines Kegelschnitts. Aufgabenstellung: Definitionsbereich, Nullstellen, Monotonie etc. Mir geht's aber erstmal nur um die eigentliche Umformung.

$\begin{eqnarray*} 5x^2+6xy+5y^2=4 \end{eqnarray*}$

Mein Ansatz wäre jetzt nach y aufzulösen. Allerdings endet es bei mir nie so, dass ich nur y auf einer Seite habe. Daher habe ich versucht per pq-Formel eine Lösung zu finden.

Mit $\begin{eqnarray*} -4 \end{eqnarray*}$ erhalte ich eine quadratische Gleichung $\begin{eqnarray*} 5x^2+6xy+5y^2-4=0 \end{eqnarray*}$ . Wende ich jetzt die pq-Formel (nach Divison durch $\begin{eqnarray*} 5 \end{eqnarray*}$ ) an, erhalte ich $\begin{eqnarray*} y=-0,6 \frac {+}{-} \sqrt {0,36-x^2+0,8} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \quad y_1=y=-0,6 + \sqrt {1,16-x^2} \quad \vee \quad y_2=y=-0,6 - \sqrt {1,16-x^2} \end{eqnarray*}$

Mir kommt mein Ansatz irgendwie falsch vor. Könnt ihr mir bitte eine Rückmeldung geben?

Danke! LG

06.04.2013, 14:36

Che Netzer

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RE: Kegelschnitt

Zitat:

Original von AlexL
Aufgabenstellung: Definitionsbereich, Nullstellen, Monotonie etc.

Das ist doch keine Aufgabenstellung...

Was möchtest du also überhaupt erreichen?

06.04.2013, 14:44

AlexL

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RE: Kegelschnitt
Für die Zweige des Kegelschnittes $\begin{eqnarray*} 5x^2+6xy+5y2=4 \end{eqnarray*}$ berechne man Definitonsbereich, Nullstellen, Monotoniebereiche, Extrema, Wendepunkte und skizziere die beschriebene Kurve.

Wir hatten ein Beispiel in der Anleitung. Um diese Punkte abzuarbeiten, sollten wir nach y auflösen. Aber hier hakt es bei mir. Ist der Ansatz denn überhaupt richtig?

06.04.2013, 15:02

Che Netzer

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RE: Kegelschnitt
Dann klingt dein Ansatz richtig.
Betrachte also als erstes $\begin{eqnarray*} y=-\frac35+\sqrt{\frac9{25}+\frac45-x^2} \end{eqnarray*}$ .
Die Nullstellen kann man in dieser Form am einfachsten bestimmen.
Ansonsten fass diese Gleichung als gewöhnliche Funktionsvorschrift auf. Wie ist dann der Definitionsbereich?

06.04.2013, 15:40

AlexL

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RE: Kegelschnitt
$\begin{eqnarray*} y=-\frac35+\sqrt{\frac9{25}+\frac45-x^2} \end{eqnarray*}$ .

Über $\begin{eqnarray*} \frac9{25}+\frac45-x^2 >= 0 \end{eqnarray*}$ würde ich den Definitonsbereich ausrechnen. Habe da $\begin{eqnarray*} x<= \frac {\sqrt{29}} {5} \end{eqnarray*}$

Für die Nullstelle setze ich den Radianten gleich $\begin{eqnarray*} - \frac {3}{5} \end{eqnarray*}$ . Dann erhalte ich $\begin{eqnarray*} x=\frac {\sqrt {20}}{5} \end{eqnarray*}$ als einzige Nullstelle.

Kannst du mir nocheinmal erklären, wieso du die "Plus-Variante" bei pq Formel wählst?

06.04.2013, 15:44

Che Netzer

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RE: Kegelschnitt

Zitat:

Original von AlexL
Über $\begin{eqnarray*} \frac9{25}+\frac45-x^2 >= 0 \end{eqnarray*}$ würde ich den Definitonsbereich ausrechnen. Habe da $\begin{eqnarray*} x<= \frac {\sqrt{29}} {5} \end{eqnarray*}$

Demnach könnte $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ auch beliebig klein werden?

Zitat:

Für die Nullstelle setze ich den Radianten gleich $\begin{eqnarray*} - \frac {3}{5} \end{eqnarray*}$ . Dann erhalte ich $\begin{eqnarray*} x=\frac {\sqrt {20}}{5} \end{eqnarray*}$ als einzige Nullstelle.

Naja, ich hätte eher gesagt, dass man $\begin{eqnarray*} \frac45-x^2=0 \end{eqnarray*}$ setzt...

Zitat:

Kannst du mir nocheinmal erklären, wieso du die "Plus-Variante" bei pq Formel wählst?

Mit irgendeinem Zweig muss man ja anfangen. Und dieser hier hat Nullstellen.

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06.04.2013, 16:05

AlexL

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RE: Kegelschnitt
Okay sehe ich jetzt auch. Naja Ergebnis für die Nullstelle sind gleich. Dein Weg natürlich schneller, habe das nicht gesehen!

Für den Definitionsbereich gilt folgendes? $\begin{eqnarray*} - \frac {\sqrt {29}}{5} <=x<=\frac {\sqrt {29}}{5} \end{eqnarray*}$

06.04.2013, 16:06

Che Netzer

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RE: Kegelschnitt
Ja, jetzt stimmt es.
Es gibt allerdings zwei Nullstellen.

Edit: Hm, ich merke gerade, dass ich deine Formelauflösung etwas voreilig übernommen habe.
Wende die $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ -Formel also nochmal ordentlich an.

07.04.2013, 13:08

AlexL

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ich habe mich jetzt nochmal in ruhe hingesetzt und folgendes gerechnet:

$\begin{eqnarray*} 5x^2+6xy+5y^2=4 \end{eqnarray*}$ forme ich über $\begin{eqnarray*} 5x^2+6xy+5y^2-4=0 \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} x^2+\frac{6}{5}xy+y^2-\frac{4}{5}=0 \end{eqnarray*}$ um. Wenn ich jetzt die pq-Formel anwende erhalte ich doch:

$\begin{eqnarray*} -\frac{3}{5}x \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} $\pm \sqrt {\frac {9}{25}x^2-x^2+\frac{4}{5}} $ \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} -\frac{3}{5}x \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} $\pm \sqrt {-\frac {16}{25}x^2+\frac{4}{5}} $ \end{eqnarray*}$ .

Für den Definitionsbereich muss gelten:

$\begin{eqnarray*} - \frac {16}{25}x^2+\frac{4}{5} \ge 0 \Rightarrow \frac{4}{5} \ge \frac {16}{25}x^2 \Rightarrow \frac{4*25}{5*16} \ge x^2 \Rightarrow x^2 \le \frac {10}{\sqrt {80}} \end{eqnarray*}$

Hieraus würde ich folgern, dass der Definitonsbereich $\begin{eqnarray*} -\frac {10}{\sqrt {80}}\le x \le \frac {10}{\sqrt {80}} \end{eqnarray*}$ ist. Stimmt das?

Wie soll ich jetzt bei der Nullstellenberechnung vorgehen? Die Umformung nach y liefert mir ja ein $\begin{eqnarray*} $\pm$ \end{eqnarray*}$ Ergebnis. Sind das die beiden "Arme" des Schnitts?

Ich habe mir jetzt gedacht, dass $\begin{eqnarray*} -\frac{16}{25}x^2+\frac{4}{5} = \frac {9}{25}x^2 \end{eqnarray*}$ gelten muss. So erhalte mit $\begin{eqnarray*} + \frac{16}{25}x^2 \end{eqnarray*}$ folgendes $\begin{eqnarray*} x^2=\frac {4}{5} \Rightarrow x_{1,2}=\pm\frac{2}{\sqrt {5}} \end{eqnarray*}$ Durch Einsetzen in die umgeformte Gleichung ergibt sich, dass $\begin{eqnarray*} \frac {2}{\sqrt{5}} \end{eqnarray*}$ eine Nullstelle ist. $\begin{eqnarray*} -\frac {2}{\sqrt{5}} \end{eqnarray*}$ ist keine. Ist das soweit korrekt?

Um nun die Extrema zu bestimmen, würde ich die umgestellte Gleichung nach x ableiten. Ich komme auf $\begin{eqnarray*} -\frac{3}{5}+\frac {1}{2\sqrt{-\frac{16}{25}x^2+\frac{4}{5}}}*(-\frac{32}{25}x) \end{eqnarray*}$ Diese würde ich dann gleich 0 setzen und nach x auflösen. Könnt ihr mir einmal einen Zwischenstand geben, ob das soweit okay ist?

07.04.2013, 13:27

Che Netzer

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Zitat:

Original von AlexL
$\begin{eqnarray*} - \frac {16}{25}x^2+\frac{4}{5} \ge 0 \Rightarrow \frac{4}{5} \ge \frac {16}{25}x^2 \Rightarrow \frac{4*25}{5*16} \ge x^2 \Rightarrow x^2 \le \frac {10}{\sqrt {80}} \end{eqnarray*}$

Woher kommt denn dieses $\begin{eqnarray*} x^2\leq\frac{10}{\sqrt{80}} \end{eqnarray*}$ ?
Wenn es $\begin{eqnarray*} \lvert x\rvert \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ sein sollte, stimmt das.
Ich hätte aber lieber $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt5}2[/quote] statt [l]\frac{10}{\sqrt{80}} \end{eqnarray*}$ geschrieben...

Zitat:

Wie soll ich jetzt bei der Nullstellenberechnung vorgehen? Die Umformung nach y liefert mir ja ein $\begin{eqnarray*} $\pm$ \end{eqnarray*}$ Ergebnis. Sind das die beiden "Arme" des Schnitts?

Ja, der mit dem Plus ist der obere, der mit dem Minus der untere.

Zitat:

Ich habe mir jetzt gedacht, dass $\begin{eqnarray*} -\frac{16}{25}x^2+\frac{4}{5} = \frac {9}{25}x^2 \end{eqnarray*}$ gelten muss. So erhalte mit $\begin{eqnarray*} + \frac{16}{25}x^2 \end{eqnarray*}$ folgendes $\begin{eqnarray*} x^2=\frac {4}{5} \Rightarrow x_{1,2}=\pm\frac{2}{\sqrt {5}} \end{eqnarray*}$ Durch Einsetzen in die umgeformte Gleichung ergibt sich, dass $\begin{eqnarray*} \frac {2}{\sqrt{5}} \end{eqnarray*}$ eine Nullstelle ist. $\begin{eqnarray*} -\frac {2}{\sqrt{5}} \end{eqnarray*}$ ist keine. Ist das soweit korrekt?

Ja, sieht gut aus.
Für den Zweig mit dem Plus vor der Wurzel zumindest. Aus Symmetriegründen ist $\begin{eqnarray*} -\frac2{\sqrt5} \end{eqnarray*}$ Nullstelle des anderen Zweigs.

Zitat:

Um nun die Extrema zu bestimmen, würde ich die umgestellte Gleichung nach x ableiten. Ich komme auf $\begin{eqnarray*} -\frac{3}{5}+\frac {1}{2\sqrt{-\frac{16}{25}x^2+\frac{4}{5}}}*(-\frac{32}{25}x) \end{eqnarray*}$ Diese würde ich dann gleich 0 setzen und nach x auflösen. Könnt ihr mir einmal einen Zwischenstand geben, ob das soweit okay ist?

Ja, das sieht auch richtig aus.

07.04.2013, 16:34

AlexL

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Zitat:

Für den Definitionsbereich muss gelten:

$\begin{eqnarray*} - \frac {16}{25}x^2+\frac{4}{5} \ge 0 \Rightarrow \frac{4}{5} \ge \frac {16}{25}x^2 \Rightarrow \frac{4*25}{5*16} \ge x^2 \Rightarrow x^2 \le \frac {10}{\sqrt {80}} \end{eqnarray*}$
Hieraus würde ich folgern, dass der Definitonsbereich $\begin{eqnarray*} -\frac {10}{\sqrt {80}}\le x \le \frac {10}{\sqrt {80}} \end{eqnarray*}$ ist.

Korrektur: $\begin{eqnarray*} -\sqrt {\frac{\sqrt {5}} {2}}\le x \le \sqrt {\frac{\sqrt {5}} {2}} \end{eqnarray*}$ So korrekt?

Bei der Ableitung habe ich folgendes gerechnet:

$\begin{eqnarray*} -\frac{32x}{50\sqrt{\frac{16}{25}x^2+\frac{4}{5}}}=\frac {3}{5} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow -\frac {32x*5}{50*3}=\sqrt {\frac {16}{25}x^2+\frac{4}{5}} \end{eqnarray*}$
Dann quadriere ich:
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac {256}{225}x^2=\frac {16}{25}x^2+\frac{4}{5} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac {112}{225}x^2=\frac{4}{5} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x^2=\frac {45}{28} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x=\pm \sqrt {\frac{45}{28}} \end{eqnarray*}$

Extremenstellen prüfen. Mit der zweiten Ableitung oder Vorzeichenwechsel der 1. Ableitung? Mir fehlt hier ein Gefühl, was "einfacher" ist.

Edit: Habe mit dem VZW der 1. Ableitung mein Ergebnis überprüft und bekomme 2x das gleiche Vorzeichen raus. Auch aus deiner Grafik entnehme ich, dass ich ein falsches Ergebnis habe. Allerdings komme ich beim zweiten Rechenversuch wieder aufs selbe.

07.04.2013, 16:45

Che Netzer

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Dein Definitionsbereich stimmt so nicht, jetzt hast du eine Wurzel zu viel eingefügt.

Zum Extremum:
Ich habe die Zahlen nicht überprüft, aber erstmal solltest du nachsehen, welches Vorzeichen das richtige ist.
Ob es ein Maximum oder ein Minimum ist, kannst du geometrisch bestimmen; das innere Extremum des oberen Zweigs ist ein Maximum.
Anschließend bemerkst du, dass die innere Extremstelle des unteren Zweigs die des oberen mit anderem Vorzeichen ist.
Und am Ende hast du noch je zwei Extrema an den Randpunkten des Definitionsbereiches.

07.04.2013, 17:13

AlexL

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Ah, habe aus Versehen ein ² mitgeschleppt, Definitionsbereich $\begin{eqnarray*} -\frac {\sqrt {5}}{2} \le x \le \frac {\sqrt {5}}{2} \end{eqnarray*}$

Das ist mir jetzt klar!

Zitat:

Zum Extremum:
Ich habe die Zahlen nicht überprüft, aber erstmal solltest du nachsehen, welches Vorzeichen das richtige ist.
Ob es ein Maximum oder ein Minimum ist, kannst du geometrisch bestimmen; das innere Extremum des oberen Zweigs ist ein Maximum.
Anschließend bemerkst du, dass die innere Extremstelle des unteren Zweigs die des oberen mit anderem Vorzeichen ist.
Und am Ende hast du noch je zwei Extrema an den Randpunkten des Definitionsbereiches

Wenn ich das richtig verstehe, soll ich mir jetzt den Schnitt vorstellen und daraus erahnen, dass der positive Ast ein Maximum beinhaltet. Aber ich wüsste jetzt immer noch nicht genau, was ich machen muss. Geometrisch bestimmen kannte ich jetzt so gar nicht. Bin davon ausgegangen, dass das rein rechnerisch gehen soll.

Ist mein Ansatz mit der Ableitung gleich 0 setzen nicht möglich?

07.04.2013, 17:16

Che Netzer

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Zitat:

Original von AlexL
Wenn ich das richtig verstehe, soll ich mir jetzt den Schnitt vorstellen und daraus erahnen, dass der positive Ast ein Maximum beinhaltet. Aber ich wüsste jetzt immer noch nicht genau, was ich machen muss. Geometrisch bestimmen kannte ich jetzt so gar nicht. Bin davon ausgegangen, dass das rein rechnerisch gehen soll.

Aber wozu soll man rechnen, wenn man weiß, was herauskommt, indem man sich kurz ein Bild vorstellt?
Das muss man dann natürlich noch in einen logisch zusammenhängenden Satz verpacken.

Zitat:

Ist mein Ansatz mit der Ableitung gleich 0 setzen nicht möglich?

Doch, mit dem hast du ja gerade den Kandidaten für die Extremstelle gefunden. Geometrisch kann man dann argumentieren, dass es sich tatsächlich um ein Extremum handelt und ein Maximum ist.

07.04.2013, 17:42

AlexL

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$\begin{eqnarray*} -\frac{32x}{50\sqrt{-\frac{16}{25}x^2+\frac{4}{5}}}=\frac {3}{5} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow -\frac {32x*5}{50*3}=\sqrt {-\frac {16}{25}x^2+\frac{4}{5}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac {256}{225}x^2=-\frac {16}{25}x^2+\frac{4}{5} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac {16}{9}x^2=\frac{4}{5} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x^2=\frac{36}{80} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x=\pm \frac {3\sqrt{5}}{10} \end{eqnarray*}$

Jetzt stimmt es auch!

Okay, dann muss ich mir den Ast vorstellen und erkennen, dass oben ein Maximum ist. Also ich verstehe schon, was du mir sagen willst, aber woher weißt du, dass diese Wurzelfunktion fällt? Liegt es daran, dass der Faktor $\begin{eqnarray*} -\frac {3}{5}x \end{eqnarray*}$ "stäker" ins Gewicht fällt als die Wurzel ( zumindest in dem Definitionsbereich)?

07.04.2013, 19:14

Che Netzer

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Möchtest du wissen, wieso ein Maximum vorliegt?
Dass der Zwei mit dem Plus vor der Wurzel der obere ist, ist klar. Außerdem ist klar, dass beide Zweige genau ein Extremum haben. Das des oberen muss ein Maximum sein.

10.04.2013, 18:52

helpsolve

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[quote]Original von AlexL
Ah, habe aus Versehen ein ² mitgeschleppt, Definitionsbereich $\begin{eqnarray*} -\frac {\sqrt {5}}{2} \le x \le \frac {\sqrt {5}}{2} \end{eqnarray*}$

Das ist mir jetzt klar!

[quote]

warum $\begin{eqnarray*} -\frac {\sqrt {5}}{2} \le x \le \frac {\sqrt {5}}{2} \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} -\frac {\sqrt {2}}{5} \le x \le \frac {\sqrt {2}}{5} \end{eqnarray*}$ ?
Du hast doch die Nullstellen von $\begin{eqnarray*} 5x^2-4 \end{eqnarray*}$ berechnet.

24.09.2013, 19:14

topboy

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nabend leute

sorry wenn ich das ding wieder zum leben erwecke aber habe eine frage bezüglich des selben problem. und zwar weiß ich nicht genau in wie fern ich in der p,q-formel das x^2 berücksigtigen soll.

p = \frac{6}{5}

q = -\frac{4}{5}

und in wie fern beziehe ich x^{2} in die formel ein?
die lösung habe ich gesehen. wäre nur froh über etwas info also warum das so ist.

danke im voraus

25.09.2013, 12:46

topboy

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Zitat:

Original von topboy
nabend leute

sorry wenn ich das ding wieder zum leben erwecke aber habe eine frage bezüglich des selben problem. und zwar weiß ich nicht genau in wie fern ich in der p,q-formel das x^2 berücksigtigen soll.

p = \frac{6}{5}

q = -\frac{4}{5}

und in wie fern beziehe ich x^{2} in die formel ein?
die lösung habe ich gesehen. wäre nur froh über etwas info also warum das so ist.

danke im voraus

sorry sollte eigentlich so aussehen.. Hammer

Hammer

(amateur)

p = $\begin{eqnarray*} \frac{6}{5}x \end{eqnarray*}$
q = $\begin{eqnarray*} -\frac{4}{5} \end{eqnarray*}$
? = $\begin{eqnarray*} x^{2} \end{eqnarray*}$

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