Vollst. Induktion Umformungs-Probleme

06.04.2013, 17:17

BrainOffline

Vollst. Induktion Umformungs-Probleme

Meine Frage:
Hallo erstmal!

Ich komme grade bei einer Aufgabe mit der Umformung nicht ganz klar.
Ich weiß wo ich hin muss und wo ich gerade bin aber mir sind die Umformungsschritte nicht ganz klar.

f(n) ist rekusriv definiert:
$\begin{eqnarray*} f(n+1) = f(n)+\frac{n+1}{2(n+2)} * (2-f(n)) \end{eqnarray*}$
mit
$\begin{eqnarray*} f(1) = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Soll jetzt die explizite Darstellung:
$\begin{eqnarray*} f(n) = 2- \frac{n+2}{2^{n}} \end{eqnarray*}$
beweisen.

Habe dann die explizite Darstellung bei f(n) eingesetzt und bin jetzt bei:
$\begin{eqnarray*} f(n+1) = 2-\frac{n+2}{2^{n} } + \frac{n+1}{2(n+2)} * \frac{n+2}{2^{n} } \end{eqnarray*}$

Von dort aus muss ich zu:
$\begin{eqnarray*} 2-\frac{2(n+2)^{2}-(n+1)(n+2)}{2^{n+1}(n+2)} \end{eqnarray*}$

Leider bin ich etwas eingerostet und kann die Umformung nicht vollkommen nachvollziehen.

Bin dankbar für jede Hilfe.

Grüße

Meine Ideen:
Habe mir schon mehrere Gedanken gemacht aber irgendwie komme ich momentan nicht auf einzelnen Schritte der Umformung. Bin etwas eingerostet wie es aussieht und bräuchte etwas Hilfe.

06.04.2013, 17:26

watcher

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Hallo,

soweit ist alles richtig.
Nur bei deiner letzten Umformung machst du dir das Leben unnötig schwer:
Hier kannst und solltest du kürzen:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{n+1}{2(n+2)} * \frac{n+2}{2^{n} } \end{eqnarray*}$

06.04.2013, 17:39

BrainOffline

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Danke für die schnelle Antwort.

Wenn ich kürze komme ich erstmal zu:

$\begin{eqnarray*} \frac{n+1}{n+2} * \frac{1}{2^n} \end{eqnarray*}$

aber mir ist nicht ganz klar wo:
$\begin{eqnarray*} 2^{n+1} \end{eqnarray*}$

herkommt.

06.04.2013, 17:42

watcher

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Bitte mach deinem Nick nicht alle Ehre und kürze richtig.

Dann ist auch klar wo das $\begin{eqnarray*} 2^{n+1} \end{eqnarray*}$ herkommt.

06.04.2013, 18:01

BrainOffline

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Scheint so als würde ich das aber machen.

Ich stehe grade echt auf dem Schlauch und sehe es einfach nicht unglücklich

06.04.2013, 18:11

watcher

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Du kürzt im Zähler (n+2) und im Nenner 2.
Du solltest oben und unten aber dasselbe kürzen.

06.04.2013, 18:29

BrainOffline

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Ich stelle mich in eine Ecke und weine....

Danke. Das hätte mir auch selber auffallen können :/

also komme ich zu:
$\begin{eqnarray*} 2-\frac{n+2}{2^n}+\frac{n+1}{2^{n+1}} \end{eqnarray*}$

Erweitere ich hier jetzt oder wie gehe ich am elegansten vor?

06.04.2013, 18:31

BrainOffline

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Zitat:

Original von BrainOffline
Ich stelle mich in eine Ecke und weine....

Danke. Das hätte mir auch selber auffallen können :/

also komme ich zu:
$\begin{eqnarray*} 2-\frac{n+2}{2^n}+\frac{n+1}{2^{n+1}} \end{eqnarray*}$

Erweitere ich hier jetzt oder wie gehe ich am elegantesten vor?

06.04.2013, 18:34

watcher

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Bei der Addition von zwei Brüchen empfiehlt sich das Bilden des Hauptnenners, also ja erweitern.

06.04.2013, 18:48

BrainOffline

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Also komme ich durch erweitern des Bruches mit 2

$\begin{eqnarray*} 2-\frac{2(n+2)}{2^{n+1}}+\frac{n+1}{2^{n+1}} \end{eqnarray*}$

und von da aus auf:
$\begin{eqnarray*} 2-\frac{2(n+2)+(n+1)}{2^{n+1}} \end{eqnarray*}$

Oder?

06.04.2013, 18:49

watcher

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Ja.

06.04.2013, 18:59

BrainOffline

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Um jetzt auf die zwischenlösung zu kommen erweitere ich das ganze mit (n+2)

bin also bei:
$\begin{eqnarray*} 2-\frac{2(n+2)^{2}+(n+1)(n+2)}{2^{n+1} (n+2)} \end{eqnarray*}$

die zwischenlösung hat aber im zähler ein minus .. ?

$\begin{eqnarray*} 2-\frac{2(n+2)^{2}-(n+1)(n+2)}{2^{n+1} (n+2)} \end{eqnarray*}$

mache ich hier wieder was falsch?

06.04.2013, 20:48

watcher

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Sorry mein letztes ja wahr falsch, ich hab einen Vorzeichenfehler übersehen.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} 2-\frac{2(n+2)\color{red} - \color{black}(n+1)}{2^{n+1}} \end{eqnarray*}$

Da -a+b = -(a-b) nach Distributivgesetz.
Das sollte auch deine Frage im letzten Post beantworten.

Woher hast du die Zwischenlösung?
Die ist wie dein ersten Vorgehen unnötig kompliziert.
Wie man eigentlich schon in der Schule am Anfang des Bruchrechnen lernen sollte:
Erst kürzen dann addieren, weil so die Zahlen/Terme deutlich kleiner sind und damit gibt's weniger Fehlerquellen.

06.04.2013, 21:14

BrainOffline

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Ah, okay.
Das erklärt das Augenzwinkern

Danke für die Hilfe!

Eh, habe das Ganze aus einem Script. Leider sind keine Zwischenschritte erläutert sondern nur sehr große Sprünge zwischen den einzelnen Umformungen.

Ich bin halt einfach was eingerostet weil ich mich zu lange nichtmehr damit beschäftigt habe.

Naja aufjedenfall kann ich ja jetzt hingehen und (n+2) vorklammern

$\begin{eqnarray*} 2-\frac{(n+2)(2(n+2)-(n+1))}{2^{n+1} (n+2)} \end{eqnarray*}$

dann kürzen:

$\begin{eqnarray*} 2-\frac{(2(n+2)-(n+1))}{2^{n+1}} \end{eqnarray*}$

auflösen:

$\begin{eqnarray*} 2-\frac{(2n+4-n-1)}{2^{n+1}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2-\frac{(n+3)}{2^{n+1}} \end{eqnarray*}$

Umformen:

$\begin{eqnarray*} 2-\frac{((n+1)+2)}{2^{n+1}} \end{eqnarray*}$

Und habe meingewünschtes ergebnis!
(zumindestens wollte ich das beweisen Augenzwinkern

)

Danke nochmal für die hilfe!

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