A^t * A invertierbar?

06.04.2013, 18:40

HammerTobi

A^t * A invertierbar?

Hallo,

habe folgende Übungsaufgabe und weiß nicht so recht, ob ich auf dem richtigen Weg bin:

"A sei eine m x n Matrix. Zeige, dass $\begin{eqnarray*} A^{t}*A \end{eqnarray*}$ invertierbar ist, wenn die Spalten von A linear unabhängig sind."

Meine Überlegung(-en):
- Spalten von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ l.u, also auch die Zeilen von $\begin{eqnarray*} A^{t} \end{eqnarray*}$
(hierzu eine Frage: Ist der Rang der Matrix A = min(m,n)? Ist hier eine Fallunterscheidung für
m<n, m=n und m>n nützlich?)
- $\begin{eqnarray*} det(A^{t}*A)\neq0 \end{eqnarray*}$ , aber auf $\begin{eqnarray*} det(A^{t})*det(A) \end{eqnarray*}$ kann ich nicht zugreifen, da A keine quadratische Matrix ist, ausserdem ist die Determinante ja ungleich null, weil sie invertierbar ist, aber gerade die Invertierbarkeit muss gezeigt werden..
- $\begin{eqnarray*} A^{t}*A \end{eqnarray*}$ ist symmetrisch, da $\begin{eqnarray*} (A^{t}*A)^t=A^{t}*(A^{t})^{t}=A^{t}*A \end{eqnarray*}$
- Wenn ich zeigen könnte, dass die neue Matrix vom Rang n ist, wäre die Invertierbarkeit auch gezeigt, nur fehlt mir da jeder Ansatz..

Vielen Dank für Ratschläge!

07.04.2013, 21:18

HammerTobi

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RE: A^t * A invertierbar?
Hi, weitere Überlegung:

Da die Spalten der Matrix A ungleich Null sind (lt. Voraussetzung sind die Spalten ja linear unabhängig)
entsteht in der neuen Matrix M:=(A^t)*A keine Nullzeile.
Nur wie das mit der linearen Unabhängigkeit ist, also ob sie sich quasi "weitervererbt", weiß ich (noch) nicht..

LG Tobi
_______________________

Ich glaub, ich habs:
betrachte:
$\begin{eqnarray*} x^{t}Mx = x^{t}A^{t}Ax = (Ax)^{t}Ax \end{eqnarray*}$ dieser Ausdruck ist, da A l.u. Spalten hat, ungleich Null bzw auch größer Null
und damit die Matrix positiv definit, also sind alle Eigenwerte ungleich null, damit ist die Invertierbarkeit gezeigt.

Kann das jemand verifizieren?

LG Tobi

Edit (mY+):
Posts zusammengefügt.
Bitte vermeide Mehrfachposts. Benütze stattdessen den EDIT-Button.

08.04.2013, 09:19

Mazze

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} x^{t}Mx = x^{t}A^{t}Ax = (Ax)^{t}Ax \end{eqnarray*}$ dieser Ausdruck ist, da A l.u. Spalten hat, ungleich Null bzw auch größer Null und damit die Matrix positiv definit, also sind alle Eigenwerte ungleich null, damit ist die Invertierbarkeit gezeigt.

Ja, so gehts. Nur wenn Du von "die Matrix" sprichst solltest Du eventuel exakter beschreiben welche Du meinst.

08.04.2013, 12:26

HammerTobi

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Die Matrix M:=(A^t)*A ist dann symmetrisch positiv definit und das ist ein Kriterium für Invertierbarkeit.
Damit müsste es richtig argumentiert sein, richtig?

LG Tobi

Und Danke Augenzwinkern

09.04.2013, 10:03

Mazze

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Ja, so ist es in Ordnung.

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