Grenzwert einer Reihe bestimmen

06.04.2013, 20:46

r4ndom19

Grenzwert einer Reihe bestimmen

Hallo,

ich habe hier eine recht harte Nuss:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n (\frac{p^k}{log(n)^{p-1}} -\frac{p^k}{log(2)^{p-1}} ) \end{eqnarray*}$

Mit n gegen unendlich.

Ich soll die p bestimmen für die die Reihe konvergiert, und gegen welchen Grenzwert.
Habt Ihr irgendwelche Ideen, wie man mit den "üblichen" Mitteln da rangehen könnte? Ich muss zugeben ich bin ziemlich ratlos, allerdings würde ich ziemlich sicher annehmen, dass p>1 sein muss...

06.04.2013, 21:09

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RE: Grenzwert einer Reihe bestimmen
kannst du nicht einfach $\begin{eqnarray*} p^k \end{eqnarray*}$ ausklammern? verwirrt

Edit: und dann erstmal die Summe verarzten meine ich.

06.04.2013, 21:49

r4ndom19

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RE: Grenzwert einer Reihe bestimmen
Was meinst du genau mit verarzten? Ja, man kann das p^k ausklammern. Sollte ich dann alles auf einen Nenner bringen, oder den Nenner umdrehen. Alles was ich bisher so ausprobiert habe, war relativ witzlos :/

06.04.2013, 22:35

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RE: Grenzwert einer Reihe bestimmen
$\begin{eqnarray*} p^k \end{eqnarray*}$ ausklammern, geometrische Summenformel anwenden (der Rest hängt ja nicht von k ab), das meinte ich mit Summe verarzten.
Ist mit $\begin{eqnarray*} \log(n)^{p-1} \end{eqnarray*}$ übrigens $\begin{eqnarray*} \log((n)^{p-1})=(p-1)\log (n) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} (\log(n))^{p-1} \end{eqnarray*}$ gemeint?

06.04.2013, 22:40

mathetest1992

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Hallo,

ich denke das kann helfen:

Du kannst ja p^k ausklammern. Dann hast du 2 Faktoren, wobei einer nicht mehr von k abhängt. Diesen kannst du vor die Summe schreiben.

In der Summe haben wir dann nur noch p^k und das konvergiert wenn Der Betrag von p kleiner 1 ist. (geom. Reihe)

07.04.2013, 10:50

r4ndom19

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Also, es ist log^n(x) gemeint. Also nicht log(x^n)
Wenn man den Faktor p^k ausklammert, erhält man ja eine geometrische Reihe, damit wäre das ganze aber nur konvergent, falls |p|<1

Das wäre aber in meiner Aufgabe falsch. Ich zeige mal wie ich die Reihe hergeleitet habe.
Es geht um folgendes Integral:
$\begin{eqnarray*} \int_2^\infty \! \, \frac{1}{x*log^{p}(x)} dx \end{eqnarray*}$

Wenn man das partiell integriert (und ja ich weiß, hier wäre Substitution wohl geschickter) erhält man:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{log^{p-1}(x)} - p* \int_2^\infty \! \, \frac{1}{x*log^{p}(x)} dx \end{eqnarray*}$
Wobei der erste Summand links vom Integral natürlich von 2 bis unendlich ausgewertet werden muss.
Da das Integral gleich blieb, und lediglich der Faktor p hinzu kam, fand ich zu der Summe. Sieh jemand meinen Fehler?

07.04.2013, 10:57

HAL 9000

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Es ist ein schlichter Vorzeichenfehler, richtig wäre

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\ln^{p-1}(x)} - (-p)\cdot \int_2^\infty \frac{1}{x\ln^{p}(x)} ~ \dd x \end{eqnarray*}$ .

07.04.2013, 11:01

Che Netzer

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Und wenn du dann bei
$\begin{eqnarray*} {\color{red}\int_2^\infty\frac\dx{x\log^p(x)}}=\frac1{\log^{p-1}(x)}+p\color{red}\int_2^\infty\frac\dx{x\log^p(x)} \end{eqnarray*}$
angekommen bist, bist du fast schon fertig.

Das mit der Reihe vergiss mal lieber schnell...

07.04.2013, 13:50

r4ndom19

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Zitat:

Original von Che Netzer
Und wenn du dann bei
$\begin{eqnarray*} {\color{red}\int_2^\infty\frac\dx{x\log^p(x)}}=\frac1{\log^{p-1}(x)}+p\color{red}\int_2^\infty\frac\dx{x\log^p(x)} \end{eqnarray*}$
angekommen bist, bist du fast schon fertig.

Das mit der Reihe vergiss mal lieber schnell...

@HAL 9000 - Ja das hab ich jetzt hier falsch geschrieben. Aber in der Summe wurde das ja richtig umgesetzt.

@Che Netzer - Ok du hast recht, ziemlich dumm von mir daran nicht gleich zu denken.
Allerdings würde mich jetzt trotzdem interessieren, warum das mit der Summe nicht hinhaut verwirrt

07.04.2013, 14:11

Che Netzer

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Da ist ja das Integral verschwunden. Du könntest dieses mit $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^np^k\frac1{\log^{p-1}(x)} \end{eqnarray*}$ approxmieren, aber erstens solltest du dort kein $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ in den Logarithmus einsetzen.
Zweitens ist der dabei gemachte Fehler genau $\begin{eqnarray*} p^{n+1}\int\frac\dx{x\log^p(x)} \end{eqnarray*}$ (die Integrationskonstanten sind mir mal egal):
$\begin{eqnarray*} \int_2^\infty\frac\dx{x\log^p(x)}=\left.\left(\sum_{k=0}^np^k\frac1{\log^{p-1}(x)}\right)\right\vert^\infty_2+p^{n+1}\int_2^\infty\frac\dx{x\log^p(x)}\,. \end{eqnarray*}$
Daher sollte für die Konvergenz der Summe $\begin{eqnarray*} \lvert p\rvert<1 \end{eqnarray*}$ sein, damit der Fehler gegen Null geht. Und die Existenz des Integrals setzt man auch schon irgendwie voraus...

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