Klausuraufgaben, Konvergenzradius

07.04.2013, 11:19

Last-Hero

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Klausuraufgaben, Konvergenzradius

Hätte hier nochmal vier kleine Aufgaben. Die ersten beiden habe ich mit der Formel von Euler gelöst. Kann mir jemand vielleicht nochmal erklären wann genau ich diese Formel nicht benutzen darf um den Konvergenzradius zu ermitteln ?

Bei der 3a) bin ich mir auch nicht sicher ob das so richtig ist mit dem arctan.

Danke schon mal !

07.04.2013, 11:44

Che Netzer

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Bei der 3b) hast du übersehen, dass dort $\begin{eqnarray*} x^{2k} \end{eqnarray*}$ , nicht $\begin{eqnarray*} x^k \end{eqnarray*}$ steht.
Und ob die 4a) so lösbar ist, kommt darauf an, ob du $\begin{eqnarray*} \tan\frac\pi3=\sqrt3 \end{eqnarray*}$ voraussetzen darfst.

Und diese Formel von Euler kannst du immer dann anwenden, wenn der entsprechende Grenzwert existiert.

07.04.2013, 11:45

RavenOnJ

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Bei der 3b) solltest du bedenken, dass in der Summe $\begin{eqnarray*} x^{2k} \end{eqnarray*}$ steht.

07.04.2013, 12:03

Last-Hero

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Vielen Dank schon mal! Ja also ich denke ich darf das bei der 4a) vorraussetzen. Die Klausur besteht aus 20 solcher kleinen Aufgaben und wir haben nur 60 MInuten Zeit.
Wir müssen eigentlich nichts herleiten oder beweisen sondern nur unsere Sachen anwenden können.
Bei der 3b) das habe ich wirklich übersehen rechne gleich nochmal nach

07.04.2013, 12:15

Last-Hero

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Also. Da zieht man ja einfach x^k in den Bruch rüber oder ?

Aber kann das sein das mein Konvergenzradius in Abhängigkeit von x ist ?

07.04.2013, 12:29

Che Netzer

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Nein, so geht das nicht.
Du könntest es mit der Substitution $\begin{eqnarray*} y=x^2 \end{eqnarray*}$ probieren, den Konvergenzradius dann normal berechnen und anschließend von der Bedingung an $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ auf eine Bedingung an $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ schließen.

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07.04.2013, 13:06

Last-Hero

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Ah ok ! Also wenn ich zu Beginn y=x² festlegen kann ich die Rechnung ja erstmal ganz normal durchführen. Erhalten dann also R=4

Aber ich kann daraus doch jetzt nicht einfach schließen dass mein ursprünglicher Konvergenzradius 2 ist oder doch ?

07.04.2013, 13:09

Che Netzer

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Du erhältst den Konvergenzradius Vier für die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty\frac k{4^k}y^k \end{eqnarray*}$ , ja.
Sofort kannst du darauf nicht auf den Konvergenzradius der ursprünglichen Reihe schließen, das geht aber mit einer simplen Umformung einer Ungleichung.

10.04.2013, 17:00

Last-Hero

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Kann man den Konvergenzradius dann mit Cauchy Hadermad bestimmen ?

Ich glaube nämlich dass wir das mit der Ungleichung und Substitution so nicht gemacht haben. Ich verstehe das mit dem Konergenzradius leider sowieso nicht besonders gut

10.04.2013, 18:16

RavenOnJ

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Natürlich kannst du das auch mit Cauchy-Hadamard berechnen. Die Berechnung des Konvergenzradius beruht auf den normalen Konvergenzkriterien für Reihen. Cauchy-Hadamard folgt aus dem Wurzelkriterium.

11.04.2013, 10:24

Last-Hero

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Ich hab es nun mal mit Cauchy Hadamard versucht. Komme allerdings wieder auf R=4
Vielleicht kann mir ja jemand sagen wo der Fehler liegt oder ob es doch stimmt

11.04.2013, 10:50

RavenOnJ

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$\begin{eqnarray*} \frac 1 R = \mathop{\mathrm{lim\,sup}}\limits_{k\to\infty}\sqrt[2k]{\frac k {4^k}} ={\color{red}\frac 1 4} \end{eqnarray*}$

Wie kommst du darauf? Du kannst schreiben

$\begin{eqnarray*} \frac 1 R = \mathop{\mathrm{lim\,sup}}\limits_{k\to\infty}\sqrt[2k]{\frac k {4^k}} =\mathop{\mathrm{lim\,sup}}\limits_{k\to\infty}\frac {\sqrt[2k]{k}}{\sqrt[2k]{4^k}} = \mathop{\mathrm{lim\,sup}}\limits_{k\to\infty}\frac {\sqrt[2k]{k}}{2}= \frac 1 2\mathop{\mathrm{lim\,sup}}\limits_{k\to\infty} {\sqrt[2k]{k}} \end{eqnarray*}$

11.04.2013, 11:00

Last-Hero

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Zähler also 2k-te Wurzel aus k ergibt ja 1 oder ? Das habe ich mir so überlegt wie du das schreibst.

Im Nenner war ich mir nicht sicher wie ich das kürzen muss. 2k-te Wurzel aus 4^k. Kannst du mir vielleicht einen Tip geben wie du das machst ?

11.04.2013, 11:31

RavenOnJ

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Du kannst doch umformen

$\begin{eqnarray*} \sqrt[2k]{4^k}=(4^k)^{\frac 1 {2k}} = ((4^k)^{\frac 1 k})^{\frac 1 2} = 4^{\frac 1 2} = 2 \end{eqnarray*}$

Oder auch

$\begin{eqnarray*} \sqrt[2k]{4^k}=(4^k)^{\frac 1 {2k}} = ((2^2)^k)^{\frac 1 {2k}} =(2^{2k})^{\frac 1 {2k}} = 2 \end{eqnarray*}$

11.04.2013, 11:38

Last-Hero

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OK ja eigentlich einfach nur Potenzgesetze aus der 7.Klasse Big Laugh

Big Laugh

Mein Problem war im Zähler dachte ich mir wenn die k-te Wurzel aus k schon 1 ist dann ist die 2k-te Wurzel auch 1. Mit dieser Überlegung bin ich im Nenner allerdings nicht weitergekommen.

Ok alles in allem ist der Konvergenzradius dann 2 oder ?

11.04.2013, 11:41

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Last-Hero
OK ja eigentlich einfach nur Potenzgesetze aus der 7.Klasse Big Laugh

Big Laugh

Allerdings Big Laugh

Big Laugh

Zitat:

Mein Problem war im Zähler dachte ich mir wenn die k-te Wurzel aus k schon 1 ist dann ist die 2k-te Wurzel auch 1.

Richtig

Zitat:

Ok alles in allem ist der Konvergenzradius dann 2 oder ?

Sieht so aus, oder? Augenzwinkern

Augenzwinkern

11.04.2013, 11:46

Last-Hero

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Kannst du mir vielleicht noch sagen wie das abzuschätzen ist wenn ich die Formel von Euler anwende ?
Wenn ich erstmal so rechne als würde dort x^k stehen komme ich dann auf einen Konvergenzradius von 4.

Ich verstehe aber nicht wie ich jetzt damit weitermachen kann. Wie kann ich dann darauf schließen dass die analoge Reihe mit x^(2k) einen Konvergenzradius von 2 hat ?

Ich kann ja nicht einfach die Wurzel ziehen

11.04.2013, 12:00

RavenOnJ

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Dazu hatte Che doch weiter oben schon was geschrieben. Für

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac {k}{4^k}y^k \end{eqnarray*}$

ist der Konvergenzradius 4. Wenn du jetzt stattdessen eine Variable x hast mit $\begin{align*} x^2 = y \end{align*}$ , dann ist der Konvergenzradius für $\begin{align*} x^2 \end{align*}$ ebenfalls gleich 4, für x also 2.

Vielleicht verstehst du nicht so ganz, was der Konvergenzradius bedeutet. Wenn man sagt, eine Reihe hat den Konvergenzradius R, dann konvergiert die Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty a_n z^n \end{eqnarray*}$

für alle z mit Betrag $\begin{eqnarray*} \vert z\vert <R \end{eqnarray*}$ . Wenn jetzt z eine Funktion einer anderen Variablen ist, beispielsweise x, also $\begin{eqnarray*} z= f(x) \end{eqnarray*}$ , womit die Reihe dann zu

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty a_n f(x)^n \end{eqnarray*}$

wird, dann konvergiert sie für alle x mit $\begin{eqnarray*} \vert f(x)\vert <R \end{eqnarray*}$ .

Konkret in deinem Fall ist $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} R=4 \end{eqnarray*}$ , die Reihe konvergiert also für $\begin{eqnarray*} \vert x^2\vert < 4\Rightarrow \vert x \vert < 2 \end{eqnarray*}$ .

11.04.2013, 12:10

Last-Hero

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Ohweh du hast Recht. Ich dachte der Konvergenzradius gibt ein Intervall an in dem die Reihe konvergiert.
Ich dachte das bedeutet, dass die Reihe nur ein Intervall der Länge R hat in dem sie konvergent ist. Das ist noch alles recht neu für mich aber so nach und nach verstehe ich langsam um was es eigentlich geht.
Deine 3 Zeilen waren eine bessere Erklärung als unser Übungsleiter in 3 Stunden gebracht hat Big Laugh

Big Laugh

11.04.2013, 12:24

RavenOnJ

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Na ja, im einfachen Fall (ohne Potenzen einer Funktion) ist dies in $\begin{align*} \mathbb R \end{align*}$ auch wirklich ein Intervall, nämlich das offene Intervall $\begin{align*} (-R,R) \end{align*}$ . Im Komplexen wäre es die offene kreisförmige Umgebung des Nullpunkts mit Radius R.

11.04.2013, 12:34

Last-Hero

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Ich dachte das Intervall bezieht sich auf die "Funktionswerte" nicht auf die Werte von x.
Was ja eigentlich keinen Sinn macht denn wenn eine Reihe konvergiert liegen die Werte ja unendlich nah beieinander folglich ist dieses Intervall ja nur ein Punkt.

Also ich hatte wirklich ein komplett falsche Vorstellung von R

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