Beweis für orthogonal Matrix

07.04.2013, 09:52

Scotty536

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Beweis für orthogonal Matrix

Meine Frage:
Hey Leute, ich steh irgendwie auf dem Schlauch. Hoffe ihr könnt helfen.

Sei $\begin{eqnarray*} x=\left(\alpha _{1},...,\alpha _{n} \right) \end{eqnarray*}$ ein Vektor des euklidischen VR $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^{n} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} <x,x> = \alpha _{1} ^{2}+ ...+ \alpha _{n} ^{2}= 1 \end{eqnarray*}$ . Beweisen Sie,dass die Matrix $\begin{eqnarray*} A= E- 2\cdot\begin{pmatrix} \alpha _1 \\ \cdot\cdot\cdot \\ \alpha _n \end{pmatrix} \left(\alpha _{1} ...\alpha _{n} \right) \end{eqnarray*}$ orthogonal ist.

Meine Ideen:
Also ich weiss, dass für orthogonale Matrizen gilt:
$\begin{eqnarray*} A^{T}\cdot A=A^{-1}\cdot A=E \end{eqnarray*}$

Allerdings komm ich trotzdem nicht weiter. Vielleicht kann mir ja jemand helfen. Ich danke im Voraus.

07.04.2013, 09:58

Che Netzer

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RE: Beweis für orthogonal Matrix
Dann bestimme doch mal $\begin{eqnarray*} A^{\mathrm T}A \end{eqnarray*}$ .

07.04.2013, 10:25

Scotty536

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Wie soll ich denn $\begin{eqnarray*} A^{T} \cdot A \end{eqnarray*}$ bestimmen ohne werte oder wie meinst du das?

07.04.2013, 10:30

Che Netzer

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Wozu brauchst du denn irgendwelche Werte?
Bestimme zunächst $\begin{eqnarray*} A^{\mathrm T} \end{eqnarray*}$ – mit einer ähnlichen Darstellung wie die für $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ – und multipliziere $\begin{eqnarray*} A^{\mathrm T}A \end{eqnarray*}$ aus.

07.04.2013, 11:15

Scotty536

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Ok, ich nehme mal an du willst, dass ich:

$\begin{eqnarray*} A=E-2\begin{pmatrix} \alpha _1 \\ ... \\ \alpha _n \end{pmatrix} \left(\alpha _{1} ...\alpha _{n} \right) \end{eqnarray*}$ zu
$\begin{eqnarray*} A=A^{T}\cdot A -2\begin{pmatrix} \alpha _1 \\ ... \\ \alpha _n \end{pmatrix} \left(\alpha _{1} ...\alpha _{n} \right) \end{eqnarray*}$
Dann würde ich durch A zu
$\begin{eqnarray*} 1=A^{T}- \left(2\begin{pmatrix} \alpha _1 \\ ... \\ \alpha _n \end{pmatrix} \left(\alpha _{1} ...\alpha _{n} \right)\right)/A \end{eqnarray*}$
Und dann
$\begin{eqnarray*} A^{T}=1+ \left(2\begin{pmatrix} \alpha _1 \\ ... \\ \alpha _n \end{pmatrix} \left(\alpha _{1} ...\alpha _{n} \right)\right)/A \end{eqnarray*}$

Bevor ich weiter rechne frage ich lieber, ob ich auf dem Holzweg bin oder es so seinen muss.

07.04.2013, 11:31

Che Netzer

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Zitat:

Original von Scotty536
$\begin{eqnarray*} A=A^{T}\cdot A -2\begin{pmatrix} \alpha _1 \\ ... \\ \alpha _n \end{pmatrix} \left(\alpha _{1} ...\alpha _{n} \right) \end{eqnarray*}$

Wo kommt das denn her?
Und was soll danach $\begin{eqnarray*} /A \end{eqnarray*}$ bedeuten?

Nein, bestimme zunächst einfach nur $\begin{eqnarray*} A^{\mathrm T} \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} A^{\mathrm T}=\dotso \end{eqnarray*}$

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07.04.2013, 11:46

Scotty536

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Also für den Fall, dass ich mich irre.

$\begin{eqnarray*} A^{T} =E/A \end{eqnarray*}$

Oder wie soll ich $\begin{eqnarray*} A^{T} \end{eqnarray*}$ sonst bestimmen.

07.04.2013, 11:48

Che Netzer

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Was soll denn $\begin{eqnarray*} E/A \end{eqnarray*}$ darstellen? verwirrt

verwirrt

Du sollst einfach $\begin{eqnarray*} A^{\mathrm T}=\left(E-2\begin{pmatrix}\alpha_1\\\vdots\\\alpha_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\alpha_1&\cdots&\alpha_n\end{pmatrix}\right)^{\mathrm T} \end{eqnarray*}$ mit den bekannten Regeln fürs Transponieren vereinfachen.

07.04.2013, 12:00

Scotty536

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Also die einzigen Regeln für's transponieren die ich kenn sind:

1) $\begin{eqnarray*} (A+B)^{T}=A^{T} +B^{T} \end{eqnarray*}$
2) $\begin{eqnarray*} (BA)^{T}=B^{T}A^{T} \end{eqnarray*}$
3) $\begin{eqnarray*} (A^{T})^{T} = A \end{eqnarray*}$

07.04.2013, 12:11

Che Netzer

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Ja, und die ersten beiden solltest du nun anwenden.
Außerdem ist die Einheitsmatrix symmetrisch: $\begin{eqnarray*} E^{\mathrm T}=E \end{eqnarray*}$ .

07.04.2013, 12:28

Scotty536

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Also würde sich ergeben:
$\begin{eqnarray*} A^{T}=E^{T}-2\begin{pmatrix} \alpha _1 \\ \cdot \cdot \cdot \\ \alpha _n \end{pmatrix}^{T}\left(\alpha _1...\alpha _n\right)^{T} \end{eqnarray*}$
Dann
$\begin{eqnarray*} A^{T}=E-2\left(\alpha _1...\alpha _n\right)\begin{pmatrix} \alpha _1 \\ ... \\ \alpha _n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Und aus der obigen Aufgabenstellung kann man
$\begin{eqnarray*} \left(\alpha _1...\alpha _n\right)\begin{pmatrix} \alpha _1 \\ ... \\ \alpha _n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
zu 1 fassen. Daraus folgt dann
$\begin{eqnarray*} A^{T}=E-2 \end{eqnarray*}$

07.04.2013, 12:38

Che Netzer

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Da ziehst du ein Skalar von einer Matrix ab...
Korrigiere also Regel 2) von oben (das da etwas schiefgegangen ist, sehe ich jetzt erst). Wende die dann nochmal richtig an.

07.04.2013, 12:51

Scotty536

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Ah ja hab meinen Fehler bei der Regel jetzt auch erst gesehen, sry

Richtig steht dann zum Schluss da

$\begin{eqnarray*} A^{T}=E-2\begin{pmatrix} \alpha _1 \\ ... \\ \alpha _n \end{pmatrix}\left(\alpha _1...\alpha _n\right) \end{eqnarray*}$

Aber dann wären ja $\begin{eqnarray*} A und A^{T} gleich \end{eqnarray*}$

07.04.2013, 12:53

Che Netzer

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Ja, wir haben jetzt also $\begin{eqnarray*} A^{\mathrm T}=A \end{eqnarray*}$ .
Jetzt bilde $\begin{eqnarray*} A^{\mathrm T}A \end{eqnarray*}$ durch Ausmultiplizieren.

07.04.2013, 13:08

Scotty536

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Also wenn ich dich jetzt richtig verstehe, soll ich
$\begin{eqnarray*} A^{T}A=\left(E-2\begin{pmatrix} \alpha _1 \\ ... \\ \alpha _n \end{pmatrix}\left(\alpha _1...\alpha _n\right)\right)*\left(E-2\begin{pmatrix} \alpha _1 \\ ... \\ \alpha _n \end{pmatrix}\left(\alpha _1...\alpha _n\right)\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =E^{2}-2E\begin{pmatrix} \alpha _1 \\ ... \\ \alpha _n \end{pmatrix}\left(\alpha _1...\alpha _n\right)-2E\begin{pmatrix} \alpha _1 \\ ... \\ \alpha _n \end{pmatrix}\left(\alpha _1...\alpha _n\right) +4\begin{pmatrix} \alpha _1 \\ ... \\ \alpha _n \end{pmatrix}^{2} \left(\alpha_1 ...\alpha_n \right)^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =E^{2}-4\begin{pmatrix} \alpha _1 \\ ... \\ \alpha _n \end{pmatrix}\left(\alpha _1...\alpha _n\right)+4\begin{pmatrix} \alpha _1 \\ ... \\ \alpha _n \end{pmatrix}^{2} \left(\alpha_1 ...\alpha_n \right)^{2} \end{eqnarray*}$

eventuell so?

07.04.2013, 13:11

Che Netzer

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So ähnlich. Aber was soll denn

Zitat:

Original von Scotty536
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \alpha _1 \\ ... \\ \alpha _n \end{pmatrix}^{2} \left(\alpha_1 ...\alpha_n \right)^{2} \end{eqnarray*}$

bedeuten?

07.04.2013, 13:14

Scotty536

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Ich habe bei dem letzten ein E vergessen

07.04.2013, 13:15

Che Netzer

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Ich fürchte, mit dem Rechnen mit Matrizen bist du noch nicht sonderlich vertraut...
Beachte aber meine Frage oben.

07.04.2013, 13:18

Scotty536

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Naja eigentlich sollte da stehen

$\begin{eqnarray*} -2\begin{pmatrix} \alpha _1 \\ ... \\ \alpha _n \end{pmatrix}\left(\alpha _1...\alpha _n\right)*\left(-2\begin{pmatrix} \alpha _1 \\ ... \\ \alpha _n \end{pmatrix}\left(\alpha _1...\alpha _n\right) \right) \end{eqnarray*}$

Um ehrlich zu sein wusste ich nicht genau wie ich das zusammen fasse

07.04.2013, 13:19

Scotty536

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naja Matrizen fasst man zusammen indem man zeile mal spalte rechnet

07.04.2013, 13:19

Che Netzer

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Das sieht schon besser aus.
Jetzt kannst du die $\begin{eqnarray*} -2 \end{eqnarray*}$ nach vorne ziehen.
Dann multipliziere die beiden inneren Vektoren/Matrizen und nutze die Voraussetzungen.

07.04.2013, 13:27

Scotty536

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Ok ich würde dann auf folgendes kommen
$\begin{eqnarray*} 4*\begin{pmatrix} \alpha _1 \\ ... \\ \alpha _n \end{pmatrix}\left(1\right)\left(\alpha_1 ...\alpha_n \right) \end{eqnarray*}$

07.04.2013, 13:42

Scotty536

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Hammer

07.04.2013, 13:47

Scotty536

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Ah ok ich zum schluss kürzt sich die hinteren raus und es bleibt
$\begin{eqnarray*} A^{T}A=E \end{eqnarray*}$

07.04.2013, 13:48

Scotty536

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reicht dann das als antwort?
und wenn ja danke ich dir für deine Hilfe und deine investierte Zeit

07.04.2013, 13:50

Che Netzer

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Wenn du das alles noch sauber aufschreibst, dann passt es so.

07.04.2013, 13:55

Scotty536

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alles klar danke dir, du warst eine große hilfe Freude

Freude

07.04.2013, 14:11

Algebrafan

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Zitat:

Original von Scotty536
Also die einzigen Regeln für's transponieren die ich kenn sind:

1) $\begin{eqnarray*} (A+B)^{T}=A^{T} +B^{T} \end{eqnarray*}$
2) $\begin{eqnarray*} (BA)^{T}=B^{T}A^{T} \end{eqnarray*}$
3) $\begin{eqnarray*} (A^{T})^{T} = A \end{eqnarray*}$

Soll es zu 2) nicht heißen:

(A*B)^{T} = B^{T}*A^{T}

07.04.2013, 14:13

Che Netzer

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Ja, das war der Fehler, der mir einen Beitrag zu spät aufgefallen ist.

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