Differentiation einer Norm |
07.04.2013, 13:25 | alphabetagamma | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Differentiation einer Norm Hallo! Ich stehe bei folgender Aufgabe auf dem Schlauch: Es sei H ein reeller Hilbertraum. Man zeige, dass die Abbildung f: H -> [0,inf] x |-> ||x|| in allen Punkten a ? (H\{0}) differenzierbar ist und berechne die Ableitung! Meine Ideen: Wie muss man hier vorgehen? (Differenzenquotient mit Norm als Wurzel des Skalarprodukts?) Über Vorschläge und Ansätze wäre ich sehr dankbar. |
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07.04.2013, 13:30 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Differentiation einer Norm Kannst du denn ableiten? Wenn ja, bist du mit und der Kettenregel auf dem richtigen Weg. |
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07.04.2013, 13:54 | alphabetagamma | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Differentiation einer Norm Das Problem ist, dass ich nicht verstehe wie ich ein nicht explizit gegebenes Skalarprodukt abeiten soll. Wir hatten für Differenzierbarkeit der stetigen Funktion f im Punkt a die Bedingung, dass eine lineare Abbildung u existiert, sodass die Funktion g(x)=f(a)+u[x-a] die Funktion f im Punkt a berührt. Dies ist erfüllt wenn gilt: lim (x->a) ( ||f(x)-g(x)|| / ||x-a|| ) = 0 |
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07.04.2013, 13:57 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Differentiation einer Norm Dann kannst du dich ja am Reellen inspirieren lassen. Die Ableitung der Betragsfunktion an einer Stelle außerhalb des Nullpunktes ist dort durch gegeben. Hast du jetzt eine Idee, wie diese Funktion für eine Stelle aussehen könnte? |
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07.04.2013, 14:25 | alphabetagamma | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Differentiation einer Norm ? Muss ich denn im Allgemeinen ein u finden, sodass dieser Quotient gegen null geht? |
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07.04.2013, 14:34 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Differentiation einer Norm Ja, das ist gut. Jetzt kannst du das im Hinterkopf behalten und überlegen, wie die Ableitung des Skalarprodukt aussehen könnte. Die von ist ja nun vermutlich . |
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07.04.2013, 15:04 | alphabetagamma | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Differentiation einer Norm ? So? |
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07.04.2013, 15:09 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Differentiation einer Norm Ja, das gilt es natürlich noch zu überprüfen. Wenn wir das wissen, kannst du daraus die Ableitung der Norm erhalten. Gilt also |
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07.04.2013, 15:38 | alphabetagamma | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Differentiation einer Norm also ich habe den limes jetzt gezeigt. Dadruch wäre ja gezeigt, dass das die Ableitung ist und man sieht auch, dass für x=0 keine Ableitung existiert. Aber warum darf ich das Normquadrat hernehmen? In der Aufgabenstellung ist ja nach der differenzierbarkeit der Norm gefragt und wenn ich dort den Limes mache habe ich ja die ganzen Wurzeln mit drin. |
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07.04.2013, 15:51 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Differentiation einer Norm Jetzt kennst du die Ableitung des Skalarprodukts. Mit der Kettenregel kannst du die Ableitung der Norm bilden. |
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07.04.2013, 16:15 | alphabetagamma | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Differentiation einer Norm Vielen Dank, sowweit alles verstanden warum kann man eigentlich die Norm bei dem Bruch im Zähler weglassen? |
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07.04.2013, 16:17 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Differentiation einer Norm Von welcher Norm sprichst du denn? |
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07.04.2013, 16:20 | alphabetagamma | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Differentiation einer Norm Die bei der Definition von "berühren sich im Punkt a" also wo du h gegen Null gehen lässt. Kann man den Punk als Platzhalter im Skalarprodukt einfach stehen lassen oder ist das "unsauber" |
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07.04.2013, 16:27 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Differentiation einer Norm
Ah, die meinst du. Der Zähler ist bei uns eine reelle Zahl, daher wäre die Norm der Betrag. Und ob nun der Betrag oder die Zahl selbst gegen Null geht, spielt keine Rolle.
Mit Punks hat das zwar nichts zu tun, aber ist sogar die sauberere Schreibweise für eine lineare Abbildung. |
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07.04.2013, 16:33 | alphabetagamma | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Differentiation einer Norm Ok vielen Dank nochmal Entschuldigung für die Rechtschreibfehler zu schnell geschrieben. Aber gut dass du verstehst was ich wollte |
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