Differentiation einer Norm

Neue Frage »

alphabetagamma Auf diesen Beitrag antworten »
Differentiation einer Norm
Meine Frage:
Hallo!

Ich stehe bei folgender Aufgabe auf dem Schlauch:

Es sei H ein reeller Hilbertraum. Man zeige, dass die Abbildung

f: H -> [0,inf]
x |-> ||x||

in allen Punkten a ? (H\{0}) differenzierbar ist und berechne die Ableitung!

Meine Ideen:
Wie muss man hier vorgehen? (Differenzenquotient mit Norm als Wurzel des Skalarprodukts?)

Über Vorschläge und Ansätze wäre ich sehr dankbar.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentiation einer Norm
Kannst du denn ableiten?
Wenn ja, bist du mit und der Kettenregel auf dem richtigen Weg.
alphabetagamma Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentiation einer Norm
Das Problem ist, dass ich nicht verstehe wie ich ein nicht explizit gegebenes Skalarprodukt abeiten soll.
Wir hatten für Differenzierbarkeit der stetigen Funktion f im Punkt a die Bedingung, dass eine lineare Abbildung u existiert, sodass die Funktion g(x)=f(a)+u[x-a] die Funktion f im Punkt a berührt.
Dies ist erfüllt wenn gilt: lim (x->a) ( ||f(x)-g(x)|| / ||x-a|| ) = 0
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentiation einer Norm
Dann kannst du dich ja am Reellen inspirieren lassen.
Die Ableitung der Betragsfunktion an einer Stelle außerhalb des Nullpunktes ist dort durch gegeben.
Hast du jetzt eine Idee, wie diese Funktion für eine Stelle aussehen könnte?
alphabetagamma Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentiation einer Norm
?

Muss ich denn im Allgemeinen ein u finden, sodass dieser Quotient gegen null geht?

Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentiation einer Norm
Ja, das ist gut.
Jetzt kannst du das im Hinterkopf behalten und überlegen, wie die Ableitung des Skalarprodukt aussehen könnte.
Die von ist ja nun vermutlich .
 
 
alphabetagamma Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentiation einer Norm
?

So?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentiation einer Norm
Ja, das gilt es natürlich noch zu überprüfen.
Wenn wir das wissen, kannst du daraus die Ableitung der Norm erhalten.

Gilt also
alphabetagamma Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentiation einer Norm
also ich habe den limes jetzt gezeigt. Dadruch wäre ja gezeigt, dass das die Ableitung ist und man sieht auch, dass für x=0 keine Ableitung existiert. Aber warum darf ich das Normquadrat hernehmen?
In der Aufgabenstellung ist ja nach der differenzierbarkeit der Norm gefragt und wenn ich dort den Limes mache habe ich ja die ganzen Wurzeln mit drin.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentiation einer Norm
Jetzt kennst du die Ableitung des Skalarprodukts. Mit der Kettenregel kannst du die Ableitung der Norm bilden.
alphabetagamma Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentiation einer Norm
Vielen Dank, sowweit alles verstanden smile
warum kann man eigentlich die Norm bei dem Bruch im Zähler weglassen?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentiation einer Norm
Von welcher Norm sprichst du denn? verwirrt
alphabetagamma Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentiation einer Norm
Die bei der Definition von "berühren sich im Punkt a" also wo du h gegen Null gehen lässt.

Kann man den Punk als Platzhalter im Skalarprodukt einfach stehen lassen oder ist das "unsauber"
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentiation einer Norm
Zitat:
Original von alphabetagamma
Die bei der Definition von "berühren sich im Punkt a" also wo du h gegen Null gehen lässt.

Ah, die meinst du. Der Zähler ist bei uns eine reelle Zahl, daher wäre die Norm der Betrag. Und ob nun der Betrag oder die Zahl selbst gegen Null geht, spielt keine Rolle.

Zitat:
Kann man den Punk als Platzhalter im Skalarprodukt einfach stehen lassen oder ist das "unsauber"

Mit Punks hat das zwar nichts zu tun, aber ist sogar die sauberere Schreibweise für eine lineare Abbildung.
alphabetagamma Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentiation einer Norm
Ok vielen Dank nochmal smile

Entschuldigung für die Rechtschreibfehler Hammer zu schnell geschrieben.
Aber gut dass du verstehst was ich wollte smile
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »