lineare Abbildung bezüglich einer Basis durch gegebene Matrix

07.04.2013, 16:56

TUler

lineare Abbildung bezüglich einer Basis durch gegebene Matrix

Hallo

Die Angabe ist folgende:
Die lineare Abbildung l werde bezüglich der Basis {(1|2), (2|3)} durch die Matrix A= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ vermittelt. Wie lautet die Matrix, die dieselbe Abbildung bezüglich der Standardbasis vermittelt?

Stimmt folgender Ansatz?
Abbildung l= Matrix M*Vektor; ich hab ja zwei Vektoren (=Basen). Darf ich die zu einer Matrix zusammenfassen?
l= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Als Ergebnis bekomme ich $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 &2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Wenn nein,wie soll ich ich anderes an die Sache rangehn? Ein kleiner Denkanstoß wäre sehr nett Forum Kloppe

Danke im Vorhinein!

07.04.2013, 16:58

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich schätze, du mußt das Leerzeichen in [ /latex] löschen.

07.04.2013, 17:06

TUler

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Leopold
Ich schätze, du mußt das Leerzeichen in [ /latex] löschen.

grad gemacht, danke Augenzwinkern

07.04.2013, 17:13

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Dein Vorgehen stimmt nicht.

Du kennst ja von zwei Vektoren die Bilder. Kannst du einmal sagen, was $\begin{eqnarray*} l(1,2) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} l(2,3) \end{eqnarray*}$ ist?

07.04.2013, 17:27

TUler

Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich bekomm da raus:
l(1,2)=(2,1)
und l(2.3)=(3,2)
Also einfach x mit y Koordinate vertauscht...
Passt das mal soweit?

Hab ich die Aufgabe richtig gedeutet, dass ich jetzt eine Matrix A´ suchen soll, bei der ich auch das Ergebnis (2,1) und (3.2) bekomm, wenn ich die Basen (1,0) und (0,1) habe?

Danke für die schnelle Hilfe Augenzwinkern

07.04.2013, 17:38

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, so geht das nicht. Die Matrix verrät dir nur die Koeffizienten bezüglich der vorgegebenen Basis, und zwar spaltenweise in der Reihenfolge der Basiselemente. Also ist

$\begin{eqnarray*} l(1,2) = \color{red} 0 \color{black} \cdot (1,2) + \color{red} 1 \color{black} \cdot (2,3) = (2,3) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} l(2,3) = \color{blue} 1 \color{black} \cdot (1,2) + \color{blue} 0 \color{black} \cdot (2,3) = (1,2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} \color{red} 0 & \color{blue} 1 \\ \color{red} 1 & \color{blue} 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

07.04.2013, 17:54

TUler

Auf diesen Beitrag antworten »

ah ok!

Also wenn ich dann die Standardbasis nehm, soll ich dann die Matrix berechnen, für die gilt: l(1,0)=a*(1,0)+b*(0,1)=(0,1)

oder l(1,0)=a*(1,0)+b*(0,1)=(2,3)?
Ich versteh die Angabe ehrlich gesagt nicht wirklich unglücklich

Im ersten Fall würde ja wieder die Matrix A rauskommen...

Bitte noch eine kleine Unterstützung Hilfe

07.04.2013, 18:04

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von TUler
Also wenn ich dann die Standardbasis nehm, soll ich dann die Matrix berechnen, für die gilt: l(1,0)=a*(1,0)+b*(0,1)=(0,1)

oder l(1,0)=a*(1,0)+b*(0,1)=(2,3)?

Weder noch. Der blaue Teil ist korrekt. Du mußt $\begin{eqnarray*} l(1,0) \end{eqnarray*}$ mit Hilfe der Standardbasis ausdrücken. Und die Koeffizienten in den Linearkombinationen bestimmen dir dann spaltenweise die gesuchte Matrix.

Der rote Teil ist aber falsch.
Um $\begin{eqnarray*} l(1,0) \end{eqnarray*}$ zu berechnen, mußt du die Informationen ausnutzen:

$\begin{eqnarray*} l(1,2) = (2,3), \ l(2,3) = (1,2) \end{eqnarray*}$

Dazu mußt du $\begin{eqnarray*} (1,0) \end{eqnarray*}$ als Linearkombination bezüglich dieser Basis schreiben:

$\begin{eqnarray*} (1,0) = \lambda \cdot (1,2) + \mu \cdot (2,3) \end{eqnarray*}$

Die Bestimmung von $\begin{eqnarray*} \lambda, \mu \end{eqnarray*}$ läuft auf ein lineares Gleichungssystem hinaus. Danach kannst du dann $\begin{eqnarray*} l(1,0) \end{eqnarray*}$ berechnen. Nütze die Linearität von $\begin{eqnarray*} l \end{eqnarray*}$ aus:

$\begin{eqnarray*} l(\sigma \cdot u + \tau \cdot v) = \sigma \cdot l(u) + \tau \cdot l(v) \end{eqnarray*}$

Neue Frage »

Antworten »

lineare Abbildung bezüglich einer Basis durch gegebene Matrix

Verwandte Themen