Umformungen der geometrischen Reihe

07.04.2013, 17:48

Kathi_R

Umformungen der geometrischen Reihe

Hey,
in meiner Aufgabe soll ich den Wert einer Reihe berechnen. Dies ist, soweit ich weiß, nur mit Hilfe einer Form der geometrischen Reihe möglich, da von anderen Reihen kein bekannter Grenzwert existiert.

Meine erste Frage nun: macht es einen Unterschied, ob ich als Indizé 0 oder eine andere Zahl habe? Bei den normalen Ableitungen der geometrischen Reihe ergibt sich das ja automatisch, da der erste Summand gleich Null wird. Damit ist es doch egal, ob ich mit n=0 oder n=1 anfange, oder?

Meine zweite Frage: Die erste Ableitung lautet ja :

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty}nq^{n-1} \end{eqnarray*}$

die zweite dann:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty}(n^2-n)q^{n-2} \end{eqnarray*}$ .

Da ist es doch bestimmt nicht egal, was vor dem $\begin{eqnarray*} q^n \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} q^{n-1} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} q^{n-2} \end{eqnarray*}$ steht. Wann ist in Mathe schließlich schon mal was egal? Aber welche Rolle spielt es? Und wenn die Form meiner Reihe nicht damit übereinstimmt, wie kann ich das anpassen?

Wenn ich zum Beispiel $\begin{eqnarray*} \sum_{n=3}^{\infty}(n-2)(3x)^{n-1} \end{eqnarray*}$ habe - darf ich dann einfach die 1. Ableitung der geometrischen Reihe verwenden, um den Grenzwert zu berechnen?
Und muss ich den Indizé verändern? Denn für n=0 und n=1 werden die Summanden nicht 0.

Und als letzte Frage: Darf ich immer mit q erweitern? Ich vermute ja, dass das mit der Frage nach dem n zusammenhängt, denn eines von beiden muss ja mindestens stimmen. Und das andere passe ich dann an, oder wie?

Und da wir das auch in den Übungen angewendet haben, wird man es ja manchmal dürfen. Aber warum darf ich mit q erweitern? Welche Auswirkungen hat das auf meine Reihe?

Ich hoffe, das sind keine blöden Fragen - ich würde es einfach gerne verstehen.

Liebe Grüße!

08.04.2013, 11:52

watcher

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Hallo,

ein paar Anmerkungen:

1) Wo hast du denn den Begriff Indizé her? Im Deutschen (und Englischen) ist der Singular von Indezes (bzw. indeces) Index.

2) Man kennt von sehr vielen Reihen den Grenzwer, z.B. auch von $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

3) Ein unterschiedlicher Startindex macht für den Wert einer Reihe durchaus einen Unterschied (nicht aber für die Konvergenz.)
Das kann man z.B. auch an den zwei üblicherweise verwendeten Formeln für die geometrische Reihe sehen: die eine beginnt bei 0 die andere bei 1:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty}q^k = \frac{1}{1-q} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} q^k = \frac{q}{1-q} \end{eqnarray*}$ , |q|<1.

4)

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \sum _{k=0}^\infty nq^{n-1} \end{eqnarray*}$

ist Unfug. Soll die Summe evtl. über n laufen?

5) Es gilt $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty a_k = \sum{k=a}^\infty a_k +\sum_{k=0}^{a-1}a_k \end{eqnarray*}$
mit a natürliche Zahl, falls die erste Summe konvergiert.
z.B. ist $\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^\infty q^k = (\sum _{k=0}^\infty q^k )-q^0-q^1=-(1+q)+(\sum _{k=0}^\infty q^k ) \end{eqnarray*}$

6) Keine Ahnung was du genau mit "mit q erweitern meinst". Evtl das was ich in 5) beschrieben hab? Oder eine Indexverschiebung?

08.04.2013, 12:16

watcher

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Ist übrigens ein Doppelpost. Wohl aufgrund der Frechheit, dass nach einem halben Tag noch keine Antwort kam.
http://www.onlinemathe.de/forum/Umformun...etrischen-Reihe

09.04.2013, 20:51

Kathi_R

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Hey, erstmal danke für die Antworten.

zu der Sache mit dem Doppelpost: Mir war nicht klar, dass das ein Problem darstellt. Mir ging es nur um die Klärung der Fragen und da die Frage dann schon "auf die nächste Seite" vorgerückt war, hab ich die Chancen, dass ich hier noch eine Antwort bekomme, als sehr gering eingeschätzt. Wenn das nicht gerne gesehen wird, werd ich mich in Zukunft auf ein einziges Forum beschränken. Ich entschuldige mich dafür.

1.) Ich hab ständig in anderen Beiträgen "Indizé" gelesen. Sorry, werd wieder auf Index umsteigen.

3.) Ich kannte bisher nur die Form $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty}q^k = \frac{1}{1-q} \end{eqnarray*}$ . Macht es Sinn, nach dem Hintergrund der anderen Form zu fragen? Denn wenn man sich die Reihen mal aufmalt, bringt das ja nicht viel Aufschluss. Bei der einen wird eben eine 1 mehr addiert. Also hätte ich gedacht: $\begin{eqnarray*} (\sum_{k=0}^{\infty}q^k) = (\sum_{k=1}^{\infty}q^k) + 1 = \frac{1}{1-q} + \frac{1-q}{1-q} = \frac{2-q}{1-q} ? \end{eqnarray*}$

das macht doch keinen Sinn?

4.) Du hast natürlich Recht. Der Index hätte n=0 sein müssen.

5.) Mit "mit q erweitern" meine ich, dass ich zum Beispiel aus $\begin{eqnarray*} \sum_{n=2}^{\infty}(n^2-n)q^{n-2} = \frac{2}{(1-q)^3} \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \sum_{n=2}^{\infty}(n^2-n)q^n = \frac{2q^2}{(1-q)^3} \end{eqnarray*}$ machen kann. Da wird ja kein Index verschoben, soweit ich erkennen kann.

Ich entschuldige mich nochmal für den Doppelpost. Nächste mal werd ich wenigstens eine Woche oder so warten...
Hoffe, das wirft keine Probleme auf

09.04.2013, 21:07

Mulder

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Zitat:

Original von Kathi_R
zu der Sache mit dem Doppelpost: Mir war nicht klar, dass das ein Problem darstellt.

Es reicht doch, wenn du in einem Forum Hilfe bekommst, da musst du doch nicht auch noch in einem anderen Forum weitere Helfer "beanspruchen". Nachher überschneidet sich das und dann hat mindestens ein Helfer sich die Mühe völlig umsonst gemacht. So ist es ja nun auch hier geschehen. In dem anderen Forum hast du doch auch schon (umfangreiche) Hilfe bekommen.

Normalerweise schließen wir in solchen Fällen den Thread einfach. Und im Wiederholungsfall folgen weitere Maßnahmen. Sieh also zukünftig bitte davon ab.

09.04.2013, 21:21

Grautvornix

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Zitat:

Original von Kathi_R
Also hätte ich gedacht: $\begin{eqnarray*} (\sum_{k=0}^{\infty}q^k) = (\sum_{k=1}^{\infty}q^k) + 1 = \frac{1}{1-q} + \frac{1-q}{1-q} = \frac{2-q}{1-q} ? \end{eqnarray*}$

das macht doch keinen Sinn?

Genau so ist es, denn das ist ja auch falsch.

Es gilt vielmehr:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty q^n=\left(\sum_{n=0}^\infty q^n\right)-1=\frac 1{1-q}-1=\frac q{1-q}. \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Kathi_R
5.) Mit "mit q erweitern" meine ich, dass ich zum Beispiel aus $\begin{eqnarray*} \sum_{n=2}^{\infty}(n^2-n)q^{n-2} = \frac{2}{(1-q)^3} \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \sum_{n=2}^{\infty}(n^2-n)q^n = \frac{2q^2}{(1-q)^3} \end{eqnarray*}$ machen kann. Da wird ja kein Index verschoben, soweit ich erkennen kann.

Genau! Alles einwandfrei!

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