Inhomogenes LGS, allgemeine Lösung |
| 08.04.2013, 17:14 | Einerlei | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Inhomogenes LGS, allgemeine Lösung Moin, es geht um folgende Aufgabenstellung: Bestimmen Sie die allgemeine Lösung des inhomogenen linearen Gleichungssystems über : x + 4y + 7z = 10 2x + 5y + 8z = 11 3x + 6y + 9z = 12 (Zusatzfrage: welche Lösungen hat dieses GS über C?)' Meine Ideen: Ich habe das erst mit dem Gauß-Algorithmus versucht, dort ergibt sich aber immer in einer Zeile das Vielfache einer anderen, so dass man in der letzten Zeile der Matrix nur noch Nullen hat... Der TR zeigt mir einen mathematischen Fehler an, wenn ich ihn das berechnen lassen will... Kann es sein, dass mit den Gleichungen was nicht stimmt, oder liegt in dem Satz "allgemeine Lösung" noch eine tiefere Bedeutung versteckt..? Ich habe die zweite Hälfte des letzten Semesters komplett verpasst und stehe momentan irgendwie etwas auf dem Schlauch ... 
Und mit der Zusatzfrage weiß ich rein gar nichts anzufangen, außer, dass ich weiß, dass es im Komplexen mehr Lösungen gibt, bzw. mehr Nullstellen. LG |
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| 08.04.2013, 17:29 | watcher | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Inhomogenes LGS, allgemeine Lösung Hallo,
Und warum brichst du dann ab? Das ist vollkommen richtig und soll hier so sein. Blätter doch mal nach bei deinen Unterlagen zum Gauß-Algorithmus was man mit Nullzeilen macht.
Entweder du hast es falsch eingetippt. Oder der Taschenrechner ist für die Tonne. |
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| 08.04.2013, 17:36 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Inhomogenes LGS, allgemeine Lösung
Ich hab das mal eingetippt und meiner zeigt auch MATH ERROR an. Ich bin mir nicht sicher, aber die Determinante der Koeffizientenmatrix ist doch 0, wenn es eine Nullzeile gibt, oder? Und man kann doch die Lösungen des LGS irgendwie mithilfe dieser Determinante berechnen. Dazu dividiert man irgendwas durch die Determinante. Das gilt aber nur, wenn es nur eine Lösung gibt. (Cramer'sche Regel ???). Hier gibt es aber unendlich viele Lösungen, da klappt das nicht mehr. Der Taschenrechner versucht aber trotzdem, durch die Determinate zu dividieren, also durch 0. Und dann gibts einen ERROR. D.h. der Taschenrechner findet die Lösung nur, wenn sie eindeutig ist. |
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| 08.04.2013, 17:56 | watcher | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
@10001000Nick1: Ich persönlich benütze keine GTR sondern höchstens ein CAS. Aber deine Beobachtung bestätigt mich darin nur umso mehr. Wobei es mich wundert, denn allgemeine Lösungen anzugeben ist algorithmisch nicht so schwer.
Richtig.
Kann man, muss man aber nicht.
Dann ist er unzureichend programmiert. Ein Ansatz über Gauß bzw. Gauß-Jordan funktioniert ohne Determinante und liefert auch im Fall mehrerer Lösungen alle zurück. |
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| 08.04.2013, 17:56 | Einerlei | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Re Okay, schon mal danke für die Antworten... Kann man sich dann einfach für eine Variable einfach einen Wert ausdenken und den Rest des LGS normal lösen? |
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| 08.04.2013, 18:04 | watcher | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wenn du eine Zeilem-Stufenform hast (und dort keine Nullspalten), dann ja. Damit kriegst du die spezielle (partikuläre Lösung). Für die allgemeine Lösung noch das homogene Gleichungssystem lösen. |
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| 08.04.2013, 18:20 | Einerlei | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| allg. Lösung Also ich habe jetzt sowas: Nehme zB z = 1 und löse damit ganz normal weiter auf, so, als hätte ich das als Ergebnis in der letzten Zeile bekommen. Also x=-1, y=1, z=1 kommt dann ja heraus. Bin ich somit fertig? Oder wie bestimme ich dann die allgemeine Lösung? |
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| 08.04.2013, 18:23 | watcher | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Deine spezielle Lösung ist richtig. (sie löst ja das Gleichungssystem.) Deine letzte Frage hab ich doch im Post vorher bereits explizit beantwortet. 
Ist daran irgendwas unklar? Dann frage bitte konkret nach. |
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| 08.04.2013, 18:34 | Einerlei | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Ach so Danke für die Hilfreichen Antworten! Ich hatte irgendwie die Wichtigkeit des Wortes "homogen" übersehen. Das wäre dann, dass man die Gleichungen alle nullsetzt, oder? |
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| 08.04.2013, 18:36 | watcher | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Genau. |
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| 09.04.2013, 09:49 | Einerlei | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Gut, das habe ich jetzt - ich verstehe nur noch nicht, wie man die spezielle und homogene Lösung zusammenbringt. also was genau ist die allgemeine Lösung? :/ |
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| 09.04.2013, 10:32 | watcher | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Die Summe der speziellen Lösung und der Lösungen des homogenen LGS (das bildet einen sog. affinen Unterraum) sind alle Lösungen des ursprünglichen (inhomogenen) LGS. Diese Lösungen nennt man mitunter allgemeine Lösung, im Sinne von allgemein als Gegenteil von speziell. Kurze Begründung: Schreibt man das ursprüngliche Gleichungssytem in der Form Ax=b, so gilt: Für jede spezielle Lösung x und jede Lösung des homogenen LGS ist auch deren Summe eine Lösung des ursprünglichen LGS: A(x+y)=Ax+Ay=b+0=0 |
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