Untergruppen, Beweis

08.04.2013, 17:39

Melanie96b

Untergruppen, Beweis

Meine Frage:
Hallo, meine Aufgabe:
Welche der folgenden Teilmengen von Gruppen sind Untergruppen? (Beweis oder Gegenbeispiel):

U = { $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & b & 0 \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & d \end{pmatrix} \in GL(3,\mathbb R ) | a,b,c,d \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ } $\begin{eqnarray*} \subset (GL(3,\mathbb R ),\cdot ) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Also dann vielleicht vorweg eine ganz allgemeine Frage: Wie beweist man das bei Matrizen? Ist Untergruppe mit Untervektorraum gleichzusetzen..?
Dann müsste man ja beweisen, dass $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ GL(3,R) in der Matrix enthalten ist..? Oder wie? :/
Ich habe irgendwie nicht so wirklich einen Plan, was ich mit der Aufgabe anfangen soll... Es wäre lieb, wenn mir jemand einen Ansatz geben könnte... smile

08.04.2013, 17:42

Math1986

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RE: Untergruppen, Beweis
Nein, Untergruppen und Untervektorräume sind erstmal zwei Paar Stiefel.
GL(3,R) (=Menge der invertierbaren Matrizen der Dimension 3x3) ist zusammen mit der bekannten Matrizenmultiplikation selbst eine Gruppe, zu zeigen (bzw. widerlegen) ist, dass U bzgl der selben Verknüpfung eine Untergruppe ist. Also ein Beweis wie bei anderen Untergruppen auch.

08.04.2013, 17:53

Melanie96b

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RE: Untergruppen, Beweis
Okay, danke; das heißt, ich muss beweisen, dass es ein inverses Element und ein neutrales gibt..?
Und ich könnte jetzt zum Beispiel sagen, dass daraus, dass die Matrix in GL(3,R) ist folgen muss, dass die inverse Matrix ebenfalls in dieser Menge ist?

08.04.2013, 17:59

Math1986

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RE: Untergruppen, Beweis

Zitat:

Original von Melanie96b
Okay, danke; das heißt, ich muss beweisen, dass es ein inverses Element und ein neutrales gibt..?

Was meinst du? Du musst eben die Untergruppenaxiome nachrechnen.

Zitat:

Original von Melanie96b
Und ich könnte jetzt zum Beispiel sagen, dass daraus, dass die Matrix in GL(3,R) ist folgen muss, dass die inverse Matrix ebenfalls in dieser Menge ist?

Ja, das ist ja die Definition von GL(3,R).

09.04.2013, 10:14

Melanie96b

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RE: Untergruppen, Beweis
...Was sind denn die Untergruppenaxiome..? Ich finde die nirgends... verwirrt

09.04.2013, 10:37

Mulder

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RE: Untergruppen, Beweis
Die Untergruppenkriterien sollten aber wohl in deinem Skript stehen. Zur Not tut's auch Wikipedia: Untergruppe.

Definitionen nachschlagen

Im Prinzip hast du doch das meiste schon genannt. Natürlich braucht U ein neutrales Element, eine Untergruppe muss ja auch selbst wieder eine Gruppe sein.

Ansonsten sind eben Abgeschlossenheit und Existenz von Inversen zu prüfen (dies beides impliziert dann auch schon die Existenz des neutralen Elementes). Die Assoziativität "vererbt" sich aus der "Obergruppe" $\begin{eqnarray*} \mathrm{GL}(3, \mathbb R) \end{eqnarray*}$ und muss nicht überprüft werden.

Wenn auch Gruppen und Vektorräume natürlich verschiedene Strukturen sind, ist es vom Prinzip her so ähnlich wie die Sache mit den Untervektorräumen. Aber hier geht's nunmal um Gruppen.

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