Leere Menge Teilmenge jeder Menge |
| 21.02.2007, 16:50 | brain man | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Leere Menge Teilmenge jeder Menge Ist folgender indirekter Beweis hinreichend ? 
Ich nehme an,dass es eine Menge A gibt, die nicht die leere Menge beinhaltet. Also heißt das : Widerspruch! Ist der Beweis hier zu Ende, da ja gezeigt ist, dass der Sachverhalt unmöglich ist hinsichtlich der Definition einer leeren Menge? |
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| 21.02.2007, 16:54 | Cordovan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Leere Menge Teilmenge jeder Menge? Gruße! Hm, ich hatte irgendwie immer gedacht, dass die Leere Menge per Definition in jeder Menge enthalten ist. Cordovan |
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| 21.02.2007, 16:56 | brain man | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Leere Menge Teilmenge jeder Menge?
Ja ist sie auch. Nur will ich das beweisen. |
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| 21.02.2007, 17:00 | Menelaos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das folgt aus dem Extensionalitätsprinzip. Bzw.: Behauptung: Für alle Mengen M, gelte . Wenn man dies aussagenlogisch anhand von Wahrheitstafeln betrachtet, ist falsch, die Gesamtaussage und damit auch die Behauptung jedoch wahr. |
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| 21.02.2007, 17:05 | brain man | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das mag sein. Aber eigentlich interessiere ich mich dafür ob mein Beweis korrekt ist! 
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| 21.02.2007, 17:21 | Menelaos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dein Beweis ist kein Beweis, da du die Definition mit eben dieser Definition zu beweisen versuchst. Du bildest eine Menge aus der dann laut Definition die Behauptung folgt. Wenn du die Definition aber beweisen möchtest, macht das wenig Sinn.
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| 21.02.2007, 17:27 | brain man | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hab ich das getan?Ich habe versucht die Definition zu beweisen, indem ich das Gegenteil angenommen habe um dies auf einen Widerspruch auslaufen zu lassen ( "reductio ad absurdum" ). Also nochmal ( um Missverständnisse auszuräumen ) : Definition : ist Teilmenge jeder Menge M Diese Aussage will ich durch einen indirekten Beweis beweisen. Dieser Beweis ist oben zu sehen und imho geht daraus ein Widerspruch hervor. |
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| 21.02.2007, 20:42 | Menelaos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Vielleicht kann ein anderer sich dazu äußern. Ich würde mich nur wiederholen. |
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| 21.02.2007, 20:54 | Kaeltor | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich muss gestehen, dass ich die notation nicht ganz verstehe ^^ Ich sehe darin eine tautologie: Wenn du definierst, dass die leere Menge nicht in A ist, dann ist x element leere Menge und x nicht element A gleichbedeutend. (die 2. Aussage folgt doch aus der ersten). Ist aber Möglich, dass ich dich da falsch verstanden habe, denn ein solcher Beweis ist tatsächlich nicht all zu schwer: sei A eine Menge ohne die leere Menge und B der Schnitt der leeren Menge und A
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| 22.02.2007, 14:38 | brain man | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Leere Menge Teilmenge jeder Menge
Genau! |
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| 22.02.2007, 17:50 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das ist Quatsch. Eine Definition ist eine Definition und kann somit (per Definitionem
) nicht bewiesen werden. Du musst schon irgendein Grundgerüst (Axiome) angeben, aus denen du diese Aussage folgern willst (dann definierst du das aber nicht!).Gruß, therisen |
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| 22.02.2007, 18:13 | brain man | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ok, dann nenne ich diese Definition Behauptung. Ich habe zu diesem ( vermutlichen ? ) Beweis mal recherchiert und bin fündig geworden : Gert Böhme, Algebra ( Zitat ) : "Beweis ( indirekt ) : Wir nehmen das Gegenteil der Behauptung an und zeigen dessen Unmöglichkeit, indem wir auf einen Widerspruch schließen. Die Annahme lautet hier : Es gibt eine Menge M mit Dann muss aber : gelten. Mit ist jedoch der Widerspruch ( zur definition der leeren Menge ) bereits gefunden." |
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| 22.02.2007, 18:16 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Vielleicht gibt es ein gewisses Alter, wo einen solche Fragestellungen interessieren. Aber wirklich interessant sind sie nicht. Wenn man das wirklich durchsteigen will, kann man auf mehrere Arten vorgehen: 1. Es leuchtet unmittelbar ein, daß das richtig ist, und bedarf daher keines Beweises. 2. Man nimmt das, was sowieso schon einleutet, in die Definition der leeren Menge mit auf. Damit ist das ein für alle Mal erledigt. Man verliert kein weiteres Wort mehr darüber. 3. Man findet die Aussage nicht unmittelbar einleuchtend und hält sie für beweisbedürftig. Dann muß man aber auch die Axiome angeben, die man zur Verfügung hat. Alles andere ist heiße Luft. |
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| 24.02.2007, 22:39 | Menelaos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich finde den Beweis noch immer seltsam. Wie ist denn definiert?
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| 24.02.2007, 23:09 | brain man | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Argh - Mein Fehler. A ist M. Werd`s mal editieren. |
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| 24.02.2007, 23:43 | Menelaos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wir nehmen also eine Menge M an, zu deren Teilmenge nicht die leere Menge gehört. Folglich muss für alle x gelten, x ist Element der leeren Menge und x ist kein Element von M. Da die leere Menge formal jedoch als Menge M definiert ist, für die alle x kein Element von M ist, wird die obige Folgerung ad absurdum geführt, da die leere Menge nach Definition doch Teilmenge von M sein muss. Habe ich das so richtig verstanden?
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| 25.02.2007, 00:03 | brain man | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja! Nur sehe ich das Absurdum darin, dass ist, da aber die Menge ohne Elemente ist, ist das nicht möglich. |
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| 19.12.2011, 18:50 | Johannes W | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Äh, das ist wirklich nur eine reine Definitionsfrage. Was ist eine Teilmenge von A? Eine Menge, die keine Elemente enthält, die nicht Element von A sind? Dann ist die leere Menge eine Teilmenge. Oder eine Menge, die nur Elemente aus A enthält (oder, präziser, mindestens ein Element aus A und keine fremden Elemente enthalten soll)? Dann is' die leere Menge Teilmenge von gar nix 
Um den Beweis anzusprechen - kann x überhaupt Element aus der leeren Menge sein? Egal was du für x einsetzt, ist es dann keine leere Menge mehr
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