Beweis von Gruppen

08.04.2013, 20:30

MadCookieMonster

Beweis von Gruppen

Hallo Leute,
kurze Aufgabe, mit der ich irgendwie nicht ganz zurecht komme:

Beweisen Sie folgende Aussage: Sei $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ eine Gruppe und seien $\begin{eqnarray*} H1, H2 \end{eqnarray*}$ zwei Untergruppen mit $\begin{eqnarray*} H1 \cup H2 = G \end{eqnarray*}$ (als Mengen). Dann ist $\begin{eqnarray*} H1 = G \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} H2 = G \end{eqnarray*}$ . (Tipp: Betrachten Sie ein Element $\begin{eqnarray*} a \in G / H1 \end{eqnarray*}$ und ein Element $\begin{eqnarray*} b \in G / H2 \end{eqnarray*}$ . Wo liegt das Produkt $\begin{eqnarray*} a*b \end{eqnarray*}$ ?)

Mein Ansatz:

Wenn ich a und b entsprechend des Tipps wähle dann kann ich lediglich die Aussage treffen, dass das Produkt in G liegt (Abgeschlossenheit von Gruppen). Aber ich kann doch keine Aussage treffen, ob in H1 oder H2.

Was übersehe ich?

MFG
MCM

08.04.2013, 20:34

tmo

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Ja, $\begin{eqnarray*} ab \end{eqnarray*}$ liegt in $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ , also o.B.d.A in $\begin{eqnarray*} H_1 \end{eqnarray*}$ . Und das ist der Widerspruch (Wenn man mal genauer hinsieht).

08.04.2013, 20:43

MadCookieMonster

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Erstmal Danke für die schnelle Antwort!

Leider komme ich damit noch nicht wirklich weiter.
Wenn das Produkt in H1 liegt kann ich da trotzem keine wirkliche Information über H1 und H2 draus ziehen. verwirrt

Angenommen H1 = G. Dann habe ich irgendwie so wie so ein Problem a aus G/H1 zu wählen, weil das ja die leere Menge wäre...

08.04.2013, 20:47

tmo

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Wo liegen denn $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ jeweils drin?

08.04.2013, 20:48

MadCookieMonster

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a liegt in H2 und b in H1 oder nicht?

08.04.2013, 20:51

tmo

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Genau.

Also haben wir:

$\begin{eqnarray*} a \notin H_1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b \in H_1 \end{eqnarray*}$

Nach unserer Annahme aber auch: $\begin{eqnarray*} ab \in H_1 \end{eqnarray*}$ .

Folgere nun einen Widerspruch.

08.04.2013, 20:58

MadCookieMonster

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Sorry ich kann dir irgendwie nicht mehr ganz folgen. Für mich klingt es auch irgendwie so, als willst du die Aussage wiederlegen. Aber ich soll sie ja beweisen.

wenn a nicht in H1 ist und b in H1 dann kann doch das Produkt von a und b wieder in H1 liegen oder nicht?

08.04.2013, 21:14

tmo

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Zitat:

Original von MadCookieMonster
Sorry ich kann dir irgendwie nicht mehr ganz folgen. Für mich klingt es auch irgendwie so, als willst du die Aussage wiederlegen. Aber ich soll sie ja beweisen.

Wir wollen die Annahme, dass a und b so gewählt werden können, widerlegen. Denn diese Annahme ist genau das Gegenteil der zu zeigenden Aussage.

Zitat:

Original von MadCookieMonster
wenn a nicht in H1 ist und b in H1 dann kann doch das Produkt von a und b wieder in H1 liegen oder nicht?

Nein, natürlich nicht. Das solltest du aber selbst zeigen können.

08.04.2013, 21:23

MadCookieMonster

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Okay danke ich habe den Ansatz endlich verstanden.

Meiner Meinung liegt der Widerspruch nun darin, dass Untergruppen ja abgeschlossen sein müssen bezüglich ihrer Verknüpfung oder?

Dann kann es natürlich nicht sein, dass a nicht in H1 liegt, wenn das Produkt von a und b in H1 liegt.

Richtig?

Edit: Mir ist noch aufgefallen. Wenn ich sage, H1 = G, dann folgt daraus doch schon, dass ich a und b gar nicht wie im Tipp wählen kann. weil a dann aus G\H1 = G\G ={ }...

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