Optimierung: Konservendose

08.04.2013, 23:31

Tipso

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Optimierung: Konservendose

Edit opi: Titel geändert, war "Optimierungsaufgabe - 1". Ich habe die Befürchtung, daß es hier sonst vor Threads wie "Optimierungsaufgabe - 2", "Optimierungsaufgabe - 7" und "Optimierungsaufgabe - 34" nur so wimmelt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Hallo,

Zylindrische Konservendosen sollen möglichst materialsparend hergestellt werden. Wie ist
eine Dose zu bemessen, die bei einem gegebenen Volumen V möglichst wenig Blech
verbrauchen soll? (Wand- und Bodenblech sollen als gleichartig angenommen werden.)

Lösungsvorschlag:

Die Oberfläche ist zu bemessen.
Ist die Frage damit beantwortet?

lg

09.04.2013, 00:17

Dopap

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meilenweit entfernt.
Dein Lösungsvorschlag enthält gar nichts,

vielleicht beginnst du freundlicherweise mal mit den Formeln für Oberfläche und Volumen eines Zylinders.

09.04.2013, 00:27

Tipso

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Aus der Formelnsammlung:
(will damit andeuten, dass ich keinen Plan über die Herleitung habe, ist hier imo auch nicht wichtig)

$\begin{eqnarray*} O = 2r^2 \pi+ 2r \pi h \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V = \pi r^2h \end{eqnarray*}$

lg

09.04.2013, 00:37

Dopap

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fein , und jetzt ist $\begin{eqnarray*} V=V_0 \end{eqnarray*}$ = konstant

Damit ist diese Funktion keine mehr sondern eine Relation in den Vaiablen h,r

dann kannst du sinnigerweise hach h auflösen und in O(r,h) einsetzen.

( nach r aufzulösen würde Wurzeln erzeugen ! )

und damit:

O(h,r) -----> O(r)

09.04.2013, 00:53

Tipso

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Zitat:

Original von Dopap
fein , und jetzt ist $\begin{eqnarray*} V=V_0 \end{eqnarray*}$ = konstant

Diesen Teil verstehe ich nicht.

Zitat:

( nach r aufzulösen würde Wurzeln erzeugen ! )

Für Mathenieten wie mich:

Ich habe die Option die Volumensformel für Zld. auf r oder h umzusetzen um diese dann in die Oberflächenform. einzusetzen.

Ich forme auf h um, da ich ansonsten eine Wurzel erhalte, was die Aufgabe schwerer macht.

$\begin{eqnarray*} h = \frac{V}{r^2 \pi } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} O = 2r^2 \pi+ 2r \pi h \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} O = 2r^2 \pi+ 2r \pi \frac{V}{r^2 \pi } \end{eqnarray*}$

So sieht meine Lösung aus?

lg

09.04.2013, 01:03

Dopap

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Zitat:

Original von Tipso
$\begin{eqnarray*} O = 2r^2 \pi+ 2r \pi \frac{V}{r^2 \pi } \end{eqnarray*}$

So sieht meine Lösung aus?

lg

nach Vorgabe ist $\begin{eqnarray*} V =V_0 \end{eqnarray*}$ vorgegeben.

ich nenne es mal V_0 damit keine Verwechslung mit V auftritt.

also :

$\begin{eqnarray*} O(r) = 2r^2 \pi+ 2r \pi \frac{V_0}{r^2 \pi } \end{eqnarray*}$

wenn man noch ein wenig kürzt haben wir eine Funktion deren Minimum gesucht ist...

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09.04.2013, 01:24

Tipso

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$\begin{eqnarray*} O(r) = 2r^2 \pi+ 2r \pi \frac{V_0}{r^2 \pi } \end{eqnarray*}$

Ich verstehe nicht ganz die Wichtigkeit der Notation.

O(r)

V_0 ist damit gemeint.

Bei Optimierungsaufgaben geht es immer um ein Maximum oder Minimum.
Wie unterscheiden sich diese bzw. woher bzw. wie erkenne ich den Unterschied?

$\begin{eqnarray*} O(r) = 2r^2 \pi+ 2\frac{V_0}{r } \end{eqnarray*}$

09.04.2013, 22:55

mYthos

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O(r) heisst nichts anderes, dass O eine Funktion von r ist. r ist die Veränderliche, für die O zu minimieren ist.
V_0 ist das gegebene (konstante) Volumen, das ist wie jede andere Zahl zu behandeln.
Das (relative) Maximum oder Minimum erkennt man am Vorzeichen der 2. Ableitung an der Stelle des Extrempunktes.
Das ist gleichbedeutend mit der Krümmung, im Maximum ist die Krümmunmg negativ, im Minimum positiv.

Siehe dir auch mal

Vorgehen bei Extremwertaufgaben

oder andere diesbezügliche Suchergebnisse hier im Forum an.

mY+

09.04.2013, 23:33

Tipso

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Thx.

Freude

14.04.2013, 14:51

Tipso

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Ich will die Aufgabe noch fertig rechnen.

$\begin{eqnarray*} O(r) = 2r^2 \pi+ 2r \pi \frac{V_0}{r^2 \pi } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} O(r) = 2r^2 \pi+ 2\frac{V_0}{r } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} O(r) = 2r^2 \pi+ 2V_0r^{-1} \end{eqnarray*}$

Jetzt leite ich ab.

$\begin{eqnarray*} O(r) = 2r^2 \pi+ 2V_0r^{-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} O(r)' = 4r \pi+ 2V_0-1r^{-2} \end{eqnarray*}$

Wie berechne ich aber nun weiter?
Ich muss doch r herausbekommen um diese in die NB einzusetzen und h zu erhalten. verwirrt

verwirrt

Nullstellen

$\begin{eqnarray*} 4r \pi+ 2V_0(-1r^{-2} )= 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4r \pi= \frac{2V_0}{r^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4r^3 \pi= 2V_0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r^3 \pi=\frac{1}{2}V_0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r =\sqrt[3]{\frac{V_0}{\pi}} \end{eqnarray*}$
.................................................................

NB

$\begin{eqnarray*} V = \pi r^2h \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V = \pi \sqrt[3]{\frac{V_0}{\pi}} ^2h \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V = \pi \left(\frac{V_0}{\pi}\right)^{\frac{2}{3}} h \end{eqnarray*}$

jetzt setze ich null und forme auf h um um h zu erhalten verwirrt

verwirrt

14.04.2013, 15:28

Dopap

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Zitat:

NB

$\begin{eqnarray*} V_0 = \pi r^2h \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V_0 = \pi \sqrt[3]{\frac{V_0}{\pi}} ^2h \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V_0 = \pi \left(\frac{V_0}{\pi}\right)^{\frac{2}{3}} h \end{eqnarray*}$

den Index Null nicht vergessen.

Zitat:

jetzt setze ich null und forme auf h um um h zu erhalten verwirrt

verwirrt

du hast doch eine GLEICHUNG , was und warum willst du Null setzen ?
Alles ausser h ist bekannt... demnach nach h auflösen.

14.04.2013, 15:49

Tipso

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$\begin{eqnarray*} V_0 = \pi \left(\frac{V_0}{\pi}\right)^{\frac{2}{3}} h \end{eqnarray*}$

V_0 steht für?
Volumen von meiner Dose.

$\begin{eqnarray*} h = \frac{V_0}{\pi \left(\frac{V_0}{\pi}\right)^{\frac{2}{3}}} \end{eqnarray*}$

Was ist nun mein Ergebnis?
Ein Verhältnis von r zu h aber welches Verhältnis?

lg

14.04.2013, 16:16

Dopap

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r hast du doch oben schon bestimmt.

Wenn dich das Verhältnis von r und h interessiert, dann bilde doch einfach

$\begin{eqnarray*} \eta =\frac r h \end{eqnarray*}$

14.04.2013, 16:58

Tipso

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Zitat:

Original von Dopap
r hast du doch oben schon bestimmt.

Wenn dich das Verhältnis von r und h interessiert, dann bilde doch einfach

$\begin{eqnarray*} \eta =\frac r h \end{eqnarray*}$

Hi,

dabei ist egal ob r durch h oder eben h durch r. Freude

Freude

14.04.2013, 17:49

Tipso

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Eine Frage habe ich dennoch.

Diese Aufgabe ist doch identisch zu
Optimierungsaufgabe - Töpfe

Also gelten die Angaben für alle Zylinderförmigen Dinge. verwirrt

verwirrt

14.04.2013, 19:41

Dopap

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ja, wenn es um Materialminimierung geht.

das Durchmesser - Höhe - Verhältnis ist dann 1

Warum sind dann die meisten Dosen etwas schlanker ? Augenzwinkern

Augenzwinkern

14.04.2013, 19:48

Tipso

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Um den Inhalt zu minimieren.

Big Laugh

Big Laugh

14.04.2013, 20:01

Dopap

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quark, das geht doch nicht !

Nun die Vorteile sind optisch , dann auch noch Griffigkeit und Stapelfähigkeit.
Manchmal auch w.g. Inhalt --> Würstchen
Andere Dosen gehen aber den anderen Weg:

z.b. Wurstdosen, und vor allem Fischdosen!

Wenn der Tomatenhering im einer "kubischen" Dose daherkäme, wer würde den dann kaufen Big Laugh

Big Laugh

14.04.2013, 20:28

Tipso

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Da man einen Fisch essen will und nichts zermatschtes nehme ich an. Freude

Freude

Die Beweggründe in unserer Gesellschaft sind also nicht immer Maximierung oder Minimierung, zumindest nicht nach dem ersten Anschein.

Zweiter - Profitmaximierung - Die Leute sollen ja kaufen. Big Laugh

Big Laugh

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