Ebenenparameterform in Koordinatenform umrechnen

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09.04.2013, 09:43

134340

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Ebenenparameterform in Koordinatenform umrechnen

Hey

Ich weiß, eigentlich sollte ich das können unglücklich

nur in diesem Fall komme ich leider nicht weiter.

Die Ebene in Parameterform lautet $\begin{eqnarray*} E:\vec{x} =\begin{pmatrix} -5 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}+r \begin{pmatrix} 2 \\ -8 \\ 0 \end{pmatrix}+s \begin{pmatrix} 2 \\ -6 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ um sie jetzt in die Koordinatenform umzuwandeln habe ich daraus ein Gleichungssystem gemacht:

code:
1: 2: 3:	(I) x1=-5+2r+2s (II) x2= 3-8r-6s (III)x3= 0

Ich könnte jetzt z.B. das s mit (II)+3(I) eliminieren, aber wie soll ich dann das x3 mit einbeziehen und wie soll ich das r wegbekommen? Oder ist mein Ansatz total falsch?

09.04.2013, 09:58

lgrizu

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RE: Ebenenparameterform in Koordinatenform umrechnen
Du solltest einen zu den beiden Spannvektoren senkrechten Vektor berechnen, also einen Normalenvektor der Ebene, die Ebene ist dann gegeben durch

$\begin{eqnarray*} n_1 x_1+n_2 x_2+n_3 x_3=d \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}n_1\\n_2\\n_3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ein Normalenvektor der Ebene ist.

09.04.2013, 09:59

riwe

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RE: Ebenenparameterform in Koordinatenform umrechnen
wenn du die letzte zeile betrachtest, steht ja alles da
$\begin{eqnarray*} x_3=0 \end{eqnarray*}$

09.04.2013, 10:22

134340

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RE: Ebenenparameterform in Koordinatenform umrechnen
Ihr beide verwirrt mich Big Laugh

Zitat:

Original von lgrizu
Du solltest einen zu den beiden Spannvektoren senkrechten Vektor berechnen, also einen Normalenvektor der Ebene, die Ebene ist dann gegeben durch

$\begin{eqnarray*} n_1 x_1+n_2 x_2+n_3 x_3=d \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}n_1\\n_2\\n_3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ein Normalenvektor der Ebene ist.

Deinen Ansatz versteh ich noch nicht so recht. Um den Normalenvektor zu berechnen muss ich erstmal das Gleichungssystem lösen oder nicht? Und dabei habe ich leider schwierigkeiten, weil ich nicht weiß wie ich das x3=0 behandeln soll.

Zitat:

riwe
wenn du die letzte zeile betrachtest, steht ja alles da
$\begin{eqnarray*} x_3=0 \end{eqnarray*}$

Wie meinst du das?

09.04.2013, 23:51

mYthos

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Hier genügt bereits "scharfes Hinsehen" bzw. eine zielführende Überlegung, dann hast du überhaupt nichts zu rechnen:
Es ist zu erkennen, dass alle dritte Koordinaten Null sind (!), auch jene des Stützpunktes.
Es folgt daraus, dass sich alles in der x-y Ebene abspielt und deren Gleichung in Koordinatenform ist bereits die Antwort.

Und was riwe dir sagen wollte, ist, dass - egal was auch immer x1 und x2 machen - unabhängig davon x3 immer Null ist.

Wie lautet dann die Gleichung?

mY+

EDIT: Hinweis:
Der Lösungsvorschlag von lgrizu ist bei einer allgemeineren Angabe anzuwenden.
Alternativ dazu werden aus dem lGS die beiden Parameter eliminiert.

11.04.2013, 12:04

134340

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Ich bin auf eine Koordinatengleichung von $\begin{eqnarray*} -16x_1-4x_2+17x_3-68=0 \end{eqnarray*}$ gekommen. Stimmt das?

11.04.2013, 13:25

HAB

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Da hast du dich verrechnet.
Riwe hat doch schon die richtige Lösung hingeschrieben.

11.04.2013, 17:03

134340

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Also ist x3=0 die Lösung? Ich versteh das einfach nicht unglücklich

Kann mir das bitte jemand für ganz Dumme erklären?

11.04.2013, 17:52

Dopap

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im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ müssen nicht alle Koordinaten auch erscheinen, wenn es dir gefällt, kannst du auch schreiben:

E: $\begin{eqnarray*} 0x_1+0x_2+x_3=0 \end{eqnarray*}$

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