Differentialgleichungen 2. Ordnung inhomogen Partikuär

09.04.2013, 10:15

Krieger

Differentialgleichungen 2. Ordnung inhomogen Partikuär

Meine Frage:
Hallo,

ich verzweifel derzeit an folgender Aufgabe...

Lösen Sie $\begin{eqnarray*} y'' + y' -2y = 3 \end{eqnarray*}$ mit den Anfangsbedingungen y(0) = y'(0) = 1

Meine Ideen:
Die Anfnagsbedingung kann ich doch anfangs aus der Acht lassen oder?

Also habe ich zuerst die Charakteristische Lösung bestimmt...

$\begin{eqnarray*} \lambda = 1 ; \lambda = 2 \end{eqnarray*}$

Dann muss ich doch jetzt schauen welcher Fall vorliegt. Da beide größer 0 sind habe ich raus:

$\begin{eqnarray*} C1* e^{x} + C2* e^{-2} \end{eqnarray*}$ Das ist doch jetzt mein yh oder?

Für die allgemine Lösung (ya= yh+yp) benötige ich noch yp.

Die Störfunktion ist ja quasi 3.

Was muss ich weiter machen ? war es bis hier richtig?

Danke für eure Hilfe!

09.04.2013, 10:52

RavenOnJ

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Das andere $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ist -2.

Du hättest auch von vorneherein eine Substitution machen können $\begin{eqnarray*} y=z-\frac 3 2 \end{eqnarray*}$ , um dann die entstehende homogene DGl zu lösen.

09.04.2013, 10:56

zyko

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RE: Differentialgleichungen 2. Ordnung inhomogen Partikuär
Richtig ist
$\begin{eqnarray*} \lambda = 1 ; \lambda = -2 \end{eqnarray*}$

Das ist richtig:
$\begin{eqnarray*} y_h=C_1* e^{x} + C_2* e^{-2x} \end{eqnarray*}$
Betrachte dann die Funktion (Variation der Konstanten):
$\begin{eqnarray*} y_p(x)=C_1(x)* e^{x} + C_2(x)* e^{-2x} \end{eqnarray*}$

Bilde davon die 1. und 2. Ableitung.
Setze $\begin{eqnarray*} y_p \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} y_p' \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_p'' \end{eqnarray*}$ in die DGL ein.
Fasse die Terme bei $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ und bei $\begin{eqnarray*} e^{-2x} \end{eqnarray*}$ zusammen.
Fordere, dass der Faktor bei $\begin{eqnarray*} e^{-2x} \end{eqnarray*}$ Null ergibt. Damit hast du eine Bedingung (DGL) für $\begin{eqnarray*} C_2 \end{eqnarray*}$ .
Fordere, dass der Faktor bei $\begin{eqnarray*} e^{x} \end{eqnarray*}$ zusammen mit diesem Term 3 ergibt. Damit hast du eine Bedingung (DGL) für $\begin{eqnarray*} C_1 \end{eqnarray*}$ .
Bei diesen DGL brauchst du keine weiteren Integrationskonstanten zu berücksichtigen, da du nur eine einzige partikuläre Lösung suchst.

Danach homogene und partikuläre Lösungen addieren und Randbedingungen nutzen.

09.04.2013, 11:03

RavenOnJ

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@zyko
Da ist dann der Weg mit der anfänglichen Substitution doch etwas einfacher Augenzwinkern

09.04.2013, 11:09

zyko

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@RavenOnJ

Wenn man den Substitutionsvorschlag hat oder erraten kann, dann ist deine Methode einfacher.

Mein Vorschlag ist immer systematisch gangbar.

09.04.2013, 11:12

RavenOnJ

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Zitat:

Original von zyko
Mein Vorschlag ist immer systematisch gangbar.

Das habe ich auch nicht bestritten, nur im konkreten Fall zu umständlich für das Finden der partikulären Lösung.

09.04.2013, 13:06

Krieger

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Erstmal danke für eure Hilfe.

Ich werde erste den Lösungsweg von zyko rechnen und danach den von RavenOnJ Augenzwinkern

folgendes Problem habe ich noch:

Ist die erste ABleitung so richtig?

$\begin{eqnarray*} C1'(x) * e^{x} + e^{-2x}* ( C2(x)-2+C2'(x)+1) \end{eqnarray*}$

ich denke hier ist schon ein Fehler oder?

Außerdem weiß ich nicht genau wieso ich jetzt hier das "Varrieren der Konstanten" anwenden darf.

Kann ich die partikuläre Lösung auf mehrere Weisen bestimmen?
Ich hatte das Varrieren der Konstanten bis jetzt nur bei inhomogenen DGleichungen erster Ordnung angwand...

Mein Prof hat für homogene Dgl das Superpositionsprinzip und etwas mit einer Fallentscheidung angewendet. Die Fallunterscheidung habe ich doch auch gemacht indem ich gesagt habe, dass ich diesen Ansatz wähle oder?

Unterm Strich verstehe ich noch nicht genau wann ich was anwenden muss, wie ich es anwende und was genau die partikuläre Lösung ist? Hat eine inhomogene Gleichung 1. Ordnung auch eine partikuläre Lösung?

Danke an euch !!! Gott

09.04.2013, 15:37

RavenOnJ

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Mach jetzt die Konstante in einer der beiden homogenen Lösungen zu einer Variablen und geh damit in die DGl. Es ist dabei egal, welche der homogenen Lösungen du nimmst, sie führen auf dieselbe partikuläre Lösung. [Am Schluss kannst du dir mal überlegen, warum das so ist.] Also beispielsweise mit der 1. Lösung:

$\begin{eqnarray*} y_a = c_1(x)e^x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y_a' = ? \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y_a'' = ? \end{eqnarray*}$

Das Ganze führt zu einer DGl für $\begin{eqnarray*} c_1(x) \end{eqnarray*}$ , die man dann wieder mit einem geeigneten Ansatz lösen kann.

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