Matrizenmultiplikation auf Verknüpfung

09.04.2013, 12:21

pooh

Matrizenmultiplikation auf Verknüpfung

Hallo,

die Aufgabenstellung ist folgende: Sei $\begin{eqnarray*} G=\left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix}| a, b \in \mathbb R \right\} \end{eqnarray*}$ . Beweisen Sie, dass die Matrizenmultiplikation eine Verknüpfung auf G ist,die assoziativ und kommutativ ist.

Meine Idee war nun folgende:
Assoziativ: A, B, C \in G und zeigen, dass (AB)C = A(BC) ist.
Kommutativ: A, B \in G und zeigen, dass AB = BA ist.

Also hab ich A mit B multipliziert und dann noch mit C und das wie folgt:
$\begin{eqnarray*} ( \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix}* \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix})* \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Das dann "ausgerechnet" und gut is.
Aber irgendwie wirkt mir das zu einfach oder ist das wirklich so? Denn allein der Beweis für AB = BA ist dann doch schon ziemlich sinnfrei oder? Ansonsten wäre ich für Tipps, die mich in die richtige Richtung schubsen, dankbar.

Viele Grüße
pooh

09.04.2013, 12:33

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Matrizenmultiplikation auf Verknüpfung

Zitat:

Original von pooh
Also hab ich A mit B multipliziert und dann noch mit C und das wie folgt:
$\begin{eqnarray*} ( \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix}* \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix})* \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Da nimmst du jetzt drei Mal die selbe Matrix, zeigst also nur

$\begin{eqnarray*} (A \cdot A) \cdot A = A \cdot (A \cdot A) \end{eqnarray*}$

Du musst das aber allgemein für drei beliebige Matrizen $\begin{eqnarray*} A,B,C \in G \end{eqnarray*}$ machen, die eben auch verschieden sein können.

Ansonsten: Ja, es ist wirklich so einfach. Es ist nur stumpfsinniges Rechnen.

Neben der Assoziativität und Kommutativität ist natürlich auch noch die Abgeschlossenheit zu zeigen. Die auf G definierte Verknüpfung darf ja nicht aus G herausführen, sonst ist es keine Verknüpfung auf G.

09.04.2013, 13:04

pooh

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Dir!

Nur um sicher zu sein - ich blick's einfach noch nicht ganz Ups

Ich nehme jetzt $\begin{eqnarray*} A= \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} d & e \\ -e & f \end{pmatrix} und C=\begin{pmatrix} g & h \\ -h & g \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Oder wie muss ich "...drei beliebige Matrizen..." interpretieren?

09.04.2013, 13:08

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

So ist es okay.

09.04.2013, 13:10

pooh

Auf diesen Beitrag antworten »

Super, vielen lieben Dank!

09.04.2013, 13:23

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich seh grad, dass das f in der zweiten Matrix (dem B) da nicht hingehört. Ich nehme mal an, das ist ein Tippfehler und soll eigentlich auch d heißen.

Neue Frage »

Antworten »

Matrizenmultiplikation auf Verknüpfung

Verwandte Themen