Optimierungsaufgabe - Töpfe

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Tipso Auf diesen Beitrag antworten »
Optimierungsaufgabe - Töpfe
Hallo,

Zitat:
Zylinderförmige Töpfe sollen möglichst materialsparend hergestellt werden. Wie ist ein
Topf zu bemessen, der bei einem gegebenen Volumen V möglichst wenig Material
verbrauchen soll? (Wand- und Bodenmaterial sollen als gleichartig angenommen werden.)


Wo besteht hier der Unterschied zu einer konservendose?

Mein Vorgehen?

Hauptbedingung aufstellen - Volumensformel eines Topfes.
Nebenbedingung aufstellen - ?

Ist es eine Maximierungs oder Minimierungsaufgabe?

lg
conlegens Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Optimierungsaufgabe - Töpfe
Es geht darum, die Oberfläche eines Zylinders ohne Deckfläche zu minimieren.
Ein Topf ist nicht geschlossen, d.h. die Deckfläche fällt weg im Vergleich zu einer Dose.
zyko Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Optimierungsaufgabe - Töpfe
Ein Zylinder kann durch den Radius r und seine Höhe h beschrieben werden.
Formuliere die Zylinderoberfläche mit diesen beiden Größen r und h.
Formuliere auch das Zylindervolumen V mit diesen beiden Größen.
Da das Zylindervolumen V als gegeben gilt, kann damit eine der beiden Unbekannten durch das konstante V und die andere Unbekannte ersetzt werden.
Damit entsteht für die Oberfläche eine Funktion, die nur noch von einer Unbekannten abhängt.
Suche das Extremum für die Oberflächenfunktion.
Denke daran bei festem Volumen soll die Oberfläche minimal werden.
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, ein Topf ohne Deckel also.

Hauptbedingung demnach:





Nebenbedingung:



V = gegeben also darf ich bzw. muss ich nach r oder h umformen und dies dann in die Oberflächenf. einsetzen.

Was mache ich daraufhin?

Was ich zb. überhaupt nicht sehe ist, wann es sich um eine Max. und wann es sich um eine Min. Aufgabe handelt und was sich für mich dadurch verändert?
conlegens Auf diesen Beitrag antworten »

Den Wert für h bzw. r aus der Nebenbedingung in die Hauptbedingung einsetzen und diese dann ableiten
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Hauptbedingung demnach:





Danke @zyko für die mathematische Erklärung.












Was habe ich nun?
Wie geht es weiter?

lg
 
 
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Tipso
Was ich zb. überhaupt nicht sehe ist, wann es sich um eine Max. und wann es sich um eine Min. Aufgabe handelt und was sich für mich dadurch verändert?

Vielleicht liest du mal die Aufgabe ganz laut vor. Da steht klar und deutlich: "möglichst wenig Material verbrauchen soll". Heißt das also, daß dein Materialverbrauch maximal werden soll? verwirrt

Zitat:
Original von Tipso
Was mache ich daraufhin?

Vielleicht löst du erstmal die Dosen-Aufgabe, bevor du hier dein Lieblings-Spiel spielst: immer neue Aufgabe hier reinstellen, aber alte nicht zu Ende rechnen.

Und damit bin ich wieder raus hier. (Im wesentlichen auch deshalb, weil ich in den meisten deiner Threads ein Mindestmaß an eigener Mitarbeit oder auch erforderliche Grundkenntnisse nicht erkennen kann.)
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Status:



Was habe ich nun?
Wie geht es weiter?

lg

Ps.

Bitte bei Anregungen(Beschwerden, Wünsche) pm an mich statt in Threads zu posten.
Den letzten Thread habe ich soweit es ging bearbeitet.
conlegens Auf diesen Beitrag antworten »

Das kann niemand nachvollziehen. Was hast du gerechnet? Wie lautet die Aufgabe ?
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Ich versuche meinen Rechenweg zu erklären.

Zitat:
Original von Tipso
Hauptbedingung demnach:




Nebenbedingung auf h umgeformt.



Hier habe ich die Nebenbedingung eingefügt in die Hauptbedingung.


Hier habe ich durch r und \pi gekürzt.


Hier habe ich r aus dem Nenner in den Zähler geholt, damit das Ableiten leichter fällt.


Hier habe ich abgelitten.


Hier habe ich umgeformt.

Was habe ich nun?
Wie geht es weiter?

lg


Ich weiß jetzt nicht wo mein Fehler ist. verwirrt
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Also in meinen Augen ist die Rechnung ok. Die Frage ist jetzt, warum du die Ableitung gebildet hast? Da steckt doch eine bestimmte Idee dahinter.
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Ich suche ein Minimum. Deshalb habe ich die erste Ableitung gebildet.
Mit dem Minimum erreiche ich die minimale Oberfläche bei gegebenem Volumen.

Erste Ableitung = Extremp.

Zweite Ableitung = größer als 0 = Hochp., kleiner als 0 = Tiefp.

Die Idee war es aus 2 Variablen eine zu berechnen.

lg

Edit:

Rechnerisch setze ich die erste Ableitung 0.



Funktion von h, ich weiß nicht genau warum es so angeschrieben wird aber es wird so gemacht.



Jetzt forme ich auf r um.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Tipso
Erste Ableitung = Extremp.

Das ist etwas zu verkürzt zusammengefaßt und führt unter Umständen zu einem falschen Verständnis der Sachlage. So ist es richtig:
Wenn bei einer differenzierbaren Funktion ein lokaler Extrempunkt vorliegt, dann ist dort die 1. Ableitung gleich Null. Wenn man also nun lokale Extrempunkte sucht, dann schaut man erstmal, wo die 1. Ableitung Nullstellen hat. Diese müssen dann weiter untersucht werden.

Zitat:
Original von Tipso


Funktion von h, ich weiß nicht genau warum es so angeschrieben wird aber es wird so gemacht.

Du mußt das Prinzip verinnerlichen und nicht darauf schauen, welche Variablen bei anderen Aufgaben verwendet wurden. Offensichtlich ist bei dieser Aufgabe die Oberflächenfunktion nur von r abhängig. Es muß also O(r) bzw. O'(r) heißen. Dergleichen Probleme kannst du sofort vermeiden, wenn du nicht einfach "O =" schreibst, sondern mal in Klammern dahinter die Variablen der Funktion auflistest.

Zitat:
Original von Tipso


Jetzt forme ich auf r um.

Das ist eine gute Idee. smile
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die ausführliche Erklärung.

Ich setze die Gleichung null weil ich die Extremwerte(punkte) suche, dies hat auch graphich einen triftigen Grund. (impliziert, dass ich ihn nicht genau weiß).




Hier sehe ich Grundlegende Rechenprobleme, da ich Probleme habe umzuformen, da ich einerseits eine Potenz habe und anderseits 2r in einer Gleichung.

Ein Versuch:

| : r^{-2}| :\pi|:2



klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Hier offenbaren sich grundlegende Unkenntnisse, was bzw. bedeutet bzw. wie man diese mittels der Potenzregeln behandelt. Unter anderem gehört dazu auch die korrekte Berechnung von .
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Freude für den Tipp.

| : r^{-2}| :\pi|:2





1.
Habe ich jetzt 2 Lösungen für r?

2.
Was mache ich mit meinem r?
Ich setze es in die Hb. und danach?

lg
HAB Auf diesen Beitrag antworten »

Hier gibt es nur eine reelle Lösung.
Du könntest allerdings noch die 2 kürzen.

Einsetzen in die Nebenbedingung liefert das zugehörige h.

Die minimale Oberfläche kannst du jetzt mit der Hauptbedingung errechnen.
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Extremwertaufgaben bestehen ja fast ausschließlich aus Gleichungen lösen. verwirrt





-----------------------------------------------------------







Diesen Teil könnte ich noch bearbeiten:







------------------------------------------------------------

Tipso Auf diesen Beitrag antworten »



= (diesen Schritt verstehe ich nicht, die Regel die dahinter liegt!!)










----------------------------------------------------------------------------





daraus folgt:
-----------------------------------------------------
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Tipso


= (diesen Schritt verstehe ich nicht, die Regel die dahinter liegt!!)



Hier hat man einfach den Bruch in der oberen Zeile mit erweitert, was aber in meinen Augen unnötig war. Aber wenn man es unbedingt will, kann man es natürlich so machen. Augenzwinkern
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

a.

Wie würdest du es machen?

b.

Ich sehe die Erweiterung nicht. unglücklich
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Tipso


Ich würde einfach im Nenner so rechnen:

So geht es mit der Erweiterung:

Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Freude

Ich hatte gedacht, es wurde nach einer Bruchrechnung verfahren.

Hab mich wohl vertan. smile

Freude
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Frage dazu:

Was passiert wenn ich als Extremp. einen Hochp. erhalte statt dem gewünschten Tiefp.

Dann hat die Aufgabe keine Lösung?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn es keinen lokalen Tiefpunkt gibt, muß man die Ränder des Definitionsbereichs untersuchen, was man (rein formal) sowieso machen muß, da das globale Extremum auch auf dem Rand liegen kann.
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

verwirrt

Wie mache ich dies?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Indem du die Funktionswerte an den Rändern des Definitionsbereichs ansiehst. Augenzwinkern
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Ich tippe wieder auch Hochschulmathematik, da es mir nicht geläuftig ist.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Dazu braucht man keine Hochschulmathematik, sondern nur gesunden Menschenverstand.

Deine Funktion hat als Variable den Radius r. Nun ist leicht einzusehen, daß r > 0 sein muß. Der Definitionsbereich ist an beiden Seiten offen und an beiden Seiten geht O(r) gegen unendlich. Da bleibt dem O(r) nichts anderes übrig, als zwischendrin ein Minimum zu haben. smile
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, aus dem graphischen weiß ich das es sich wohl um ein minimum handelt.

Also erhöhe ich die koeffizienten vor dem r, meiner Variablen.





klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Also was das jetzt soll, ist mir völlig rätselhaft. geschockt
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe es so verstanden, dass ich den Durchmesser(r) erhöhen muss, dies habe ich getan indem ich es mit 2 bzw. 3 multipliziert habe.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Also wie gesagt: ich weiß jetzt nicht, was du noch willst. Der optimale Radius ist berechnet. Also ist die Aufgabe erledigt. Fertig. Aus. Ende.
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

An sich schon:

Es ging um diese Frage:
Zitat:
Was passiert wenn ich als Extremp. einen Hochp. erhalte statt dem gewünschten Tiefp.Dann hat die Aufgabe keine Lösung?


Zitat:
Wenn es keinen lokalen Tiefpunkt gibt, muß man die Ränder des Definitionsbereichs untersuchen, was man (rein formal) sowieso machen muß, da das globale Extremum auch auf dem Rand liegen kann.


Zitat:
Indem du die Funktionswerte an den Rändern des Definitionsbereichs ansiehst.


Zitat:
Dazu braucht man keine Hochschulmathematik, sondern nur gesunden Menschenverstand.Deine Funktion hat als Variable den Radius r. Nun ist leicht einzusehen, daß r > 0 sein muß. Der Definitionsbereich ist an beiden Seiten offen und an beiden Seiten geht O(r) gegen unendlich. Da bleibt dem O(r) nichts anderes übrig, als zwischendrin ein Minimum zu haben.


Ich würde hier also für r, die Ränder meines Definitionsbereiches (Zylinderförmige Töpfe) ansehen.
Definitionsbereich ist dabei der äußerste Bereich des Topfes.

Ich setze dies einfach für r ein und schaue ob ich ein richtiges Ergebnis. (Material sparend, also Tiefp.) erhalte.

Ps.
Die Aufgabe ist an sich zu Ende.
Danke für deine Hilfe.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Tipso
Ich würde hier also für r, die Ränder meines Definitionsbereiches (Zylinderförmige Töpfe) ansehen.
Definitionsbereich ist dabei der äußerste Bereich des Topfes.

Ich setze dies einfach für r ein und schaue ob ich ein richtiges Ergebnis. (Material sparend, also Tiefp.) erhalte.

Also der Definitionsbereich besteht aus allen möglichen Radien. Das können im Extremfall ganz kleine Radien sein (1mm und noch weniger) oder ganz große Radien (> 100 km, von mir aus bis an den Rand des Universums Big Laugh ) . Wie die Oberflächenfunktion aussieht, kann man sich ja mal für das Beispiel V = 1000 ml ansehen:



Und an den Rändern (Radius geht gegen 0 bzw. gegen unendlich) wird auch die Oberfläche unendlich groß.
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Baustein fehlt mir noch, wenn es ein minimum (lokal), wo ist dieser?

Ich finde ihn auf der Skizze nicht. verwirrt
oder verstehe es graphisch nicht. (dieser wäre hier ungefähr bei 400, im Fall des Volumens 1000 ml).
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Na ja , da sieht man doch. Das Minimum ist ungefähr bei einem Radius von 7 cm, wo die Oberfläche dann ungefähr 430 cm² ist. smile
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

maximum wäre bei ca 0,5 und 15,5. jeweisl 1000 cm^2

Wenn dies stimmt, habe ich es verstanden und bedanke mich nochmals. Freude
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Na ja, der Wert 1000 wird ungefähr bei 2 und 16,5 erreicht. Aber da ist keinesfalls das Maximum. Man braucht ja nur mal ein bißchen die Skala verändern:

Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Freude

Danke. Wink
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