Nullstelle einer "gemischten" e-Funktion

09.04.2013, 19:28	nick123	Auf diesen Beitrag antworten »
Nullstelle einer "gemischten" e-Funktion Hallo liebe Matheboardler ich hab ein kleines Problem bei der Nullstellenberechnung folgender Funktion: $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{1}{3}x^{3} -3e^{x} \end{eqnarray}$ Ich hab mir den Graphen mal bei Wolframalpha angeschauen und seh auch, dass die Funktion keine Nullstellen besitzt, aber rechnerisch komm ich auf keinen Zweig um das Ergebnis auch selbst zu bestätigen.... Mein Ansatz wär gewesen -3e^x auf die andere seite zu Packen und dann logarithmieren... $\begin{eqnarray} f(x)=0 => \frac{1}{3}x^{3} -3e^{x}=0 \|+3e^{x} <=> \frac{1}{3}x^{3}=3e^{x} \|ln() \end{eqnarray}$ so dass ich zum Schluss bei $\begin{eqnarray} 3ln(x)-x = 2ln(3) \end{eqnarray*}$ lande... Aber hier glaub ich, dass ich mich Festgefahren habe.... Ein Ansatz in die richtige Richtung wäre super!
09.04.2013, 19:47	Integralos	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, probier es mit dem Newton-Verfahren. Lg
09.04.2013, 19:55	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Das sieht doch schon recht gut aus: $\begin{eqnarray} 3ln(x)-x = 2ln(3) \end{eqnarray}$ Ich glaube ich würde hier noch das x nach rechts bringen. Dann sieht man eine um ln(9) nach oben verschobene Gerade mit der Steigung 1, sowie links den Logarithmus. Ein kurzer Blick aufs Schaubild zeigt sofort, dass es keinen gemeinsamen Schnittpunkt gibt. Dazu muss man natürlich wissen, wie der Logarithmus aussieht .
09.04.2013, 20:34	nick123	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Integralos Erstmal Danke für deinen Tipp! Denke mal, beim Newton-Verfahren werd ich sehen, dass meine y-Werte sich von der Abszisse weiter entfernen werden, nachdem ich mit der Tangente das Maximum der Funktion erreicht habe... Damit wäre ein Schnittpunkt ja nicht mehr möglich... Wobei ich erst einen Geeigneten Startwert x0 finden muss, der die bedingung $\begin{eqnarray} \|\frac{ f(x_{0})f''(x_{0}) }{f'(x_{0})}\|<1 \end{eqnarray}$ erfüllt.... Ich könnte ja auch einfach die Extremstelle ermitteln, hier Maximum, und den zugehörigen Funktionswert... der liegt ja unterhalb der x-Achse... Damit würde ich auch begründen können, warum dieser Graph keine Nullstellen besitzt. Nur lautet die Ableitung hier auch $\begin{eqnarray} f'(x)=x^2-3e^x \end{eqnarray*}$ und da hab ich wieder das selbe Problem, dass ich nicht an die NS rankomme... Erst ab der dritten Ableitung verschwindet mein x Komplett und mir bleibt nur noch die e-Funktion + c ... <.<
09.04.2013, 20:46	nick123	Auf diesen Beitrag antworten »
Equester Danke! Stimmt, die "Gerade" hab ich jetzt total übersehen! Kann es auch sein, dass durch das Ausbleiben des Schnittpunktes beider Graphen, das Newton-Verfahren mir keine Näherung der (nicht vorhandenen) Nullstellen liefern kann...? :o Man brauch ja für das Newton-Verfahren einen geeigneten Startwert... Bei komplizierter Aufgebauten Funktionen soll man die Funktion f(x) ja Aufspalten in f1(x)=f2(x) und den Schnittpunkt ermitteln um einen geeigneten Startwert zu erhalten. Bei der Aufgabe hier gibt es so einen Schnittpunkt ja garnicht und somit auch keinen geeigneten Startwert... :o Oder ist das einfach zu weit und kompliziert Gedacht? xD
09.04.2013, 21:03	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das Newton-Verfahren dürfte nicht helfen. Das müsste wirr durch die Gegend tanzen (Hab es allerdings noch nie ausprobiert^^). Für einen Startwert nimmt übrigens meist ein Schaubild und schätzt in etwa ab, wo der Startwert liegen soll...oder was meintest du jetzt?
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09.04.2013, 21:07	nick123	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau. Die Startwerte sollen ja möglichst nah am Nullpunkt liegen. Allerdings kann ich den Graphen hier ja schlecht zeichnen, deswegen soll man wohl die Ausgangsfunktion aufspalten z.B. in f1(x)=x^2 und f2(x)=3*e^x (ich hab jetzt mal die Ableitung genommen, weil ich noch die Extremwerte brauche) Die soll man nun beide Zeichnen und deren Schnittpunkt, soll ein geeigneter Startpunkt fürs Newton-Verfahren sein. Werds jetzt mal ausprobieren... Anders werd ich wohl an die Nullstelle der ersten Ableitung und somit an den Extrempunkt nicht kommen... :/ Außer du hättest noch einen anderen Ansatz...
09.04.2013, 21:13	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt hab ich verstanden, was du machen willst. Yup, das ist in Ordnung. Wenn man das Schaubild von f(x) selbst nicht kennt, ist eine Aufspaltung wie du es machst eine gute Wahl.

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