Potenzfunktion mit x^-n

21.02.2007, 17:45

OrangenTraum

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Potenzfunktion mit x^-n

Hi !

Unser Lehrer hat uns heute gesagt, wir sollen ein Referat über

$\begin{eqnarray*} x^{n} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$

Ich kann damit aber nicht viel anfangen.
Wir haben momentan die Kurvendiskussionen ... naja halbwegs abgeschlossen, hier und da immer ein paar Ergänzungen .

Was soll denn da groß erklärt werden , die Ableitungsregel oder wie die aussehen ? Potenzfunktionen macht man ja normalerweise in der 10.Klasse, und ich bin in der 11. .
Könnt ihr vielleicht sagen , warum unser Lehrer uns das gegeben hat.
Kommt vielleicht bald ein Thema wozu man das braucht ?

Achso , vielleich ist das auch noch hilfreich , die anderen Gruppen haben Monotonie und Umkehrfunktion bekommen. Er sagte alle 3 Themen würden zusammenhängen.

Danke

21.02.2007, 19:16

brain man

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Servus !

Das Verhalten im Unendlichen für $\begin{eqnarray*} a_{n}=x^n \end{eqnarray*}$ könnte gemeint sein.

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}x^{n} \end{eqnarray*}$

Dafür gibt`s ne Fallunterscheidung für $\begin{eqnarray*} \mid x \mid \leq 1 \end{eqnarray*}$ ( geometrische Reihe ) und $\begin{eqnarray*} x > 1 \end{eqnarray*}$ ( divergente Reihe ).

Ableitung von $\begin{eqnarray*} f(x)=x^n \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx}x^{n} = nx^{n-1} \end{eqnarray*}$

21.02.2007, 20:37

OrangenTraum

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Hm , also dann der Beweis für die Ableitung ??

21.02.2007, 20:40

Musti

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Wieso nicht?! Das wäre doch auch eine Möglichkeit für dein Referat.

21.02.2007, 20:42

system-agent

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Zitat:

Original von brain man
Dafür gibt`s ne Fallunterscheidung für $\begin{eqnarray*} \mid x \mid \leq 1 \end{eqnarray*}$ ( geometrische Reihe ) und $\begin{eqnarray*} x > 1 \end{eqnarray*}$ ( divergente Reihe ).

das ist keine reihe Augenzwinkern

Augenzwinkern

da hat dein lehrer aber sicher noch was weiteres zur aufgabe gesagt, denn ohne erläuterung gibts da erstmal vielzuviel zu sagen

21.02.2007, 21:50

OrangenTraum

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Er hats wirklich einfach nur angeschrieben und hat es noch nicht mal Potenzfunktion genannt ! Einfach nur $\begin{eqnarray*} f(x)=x^{- n} \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ an die Tafel geschrieben.

Anmerkung: Im 1.Post habe ich es falsch geschrieben

Ich denke es wird nichts helfen als ihn morgen nochmal darauf anzusprechen ... wie kann ich meine Frage denn konkretisieren ?

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21.02.2007, 23:07

Musti

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Du sagst ihm einfach dass die Potenzfunktion zu allgemein ausgedrückt ist oder will dein Lehrer dass du ne Examensarbeit schreibst? Augenzwinkern

Augenzwinkern

21.02.2007, 23:21

Orangentraum

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Er hat noch nicht mal Potenzfunktion gesagt ....
Ich frag ihn dann noch mal und lass es Euch wissen wenn ich Hilfe brauche

22.02.2007, 14:32

brain man

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Zitat:

Original von OrangenTraum
Hm , also dann der Beweis für die Ableitung ??

Den Beweis kannst du induktiv führen.

Induktionsanfang : Beweise die Aussage für $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ oder andere n.

Induktionsschluss : $\begin{eqnarray*} n \to n+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx}f(x)_{n+1} \end{eqnarray*}$ aus der Produktregel für Ableitungen folgt :

$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx}f_{1}(x)*f_{n}(x)+ \frac{d}{dx}f_{n}(x)*f_{1}(x)=(n+1)*x^n \end{eqnarray*}$

q.e.d.

23.02.2007, 18:32

OrangenTraum

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Also unser Lehrer sagte mir heute sowas wie "Wie die Funktion aussieht,Ableitungen angucken, Symmetrie, was man mit den Potenzfunktionen machen kann" und dann " schaut einfach was ihr findet"

Was soll ich damit anfangen, bin total planlos unglücklich

unglücklich

24.02.2007, 14:17

OrangenTraum

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Kann mir keiner helfen ?
Ich weiß wirklich nicht weiter ....

Ich versteh einfach nicht warum wir Potenzfuntkionen erklären sollen, das gabs doch alles schonmal in der 10.Klasse. Da muss ja ein Zusammenhang zwishcen Potenzfunktionen und Differentialrechnung bestehen, aber den find ich net :/

24.02.2007, 14:26

marci_

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also schau mal auf die hochzahl...es gibt da unterschiede ob n gerade oder ungerade ist...finde gleichmäßigkeiten usw.

24.02.2007, 15:21

system-agent

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wenns das alles in der 10. klasse gab, dann haste ja schon ein gutes konzept. nimm einfach das was du gelernt hast und vertief es, beispielsweise die monotonie mit ableitungen zu zeigen und was weiss ich nciht alles.
ein weiteres stichwort sind gemeinsame punkte, symmetrie mit $\begin{eqnarray*} f(-x)=f(x) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} f(-x)=-f(x) \end{eqnarray*}$ haste ja selbst erwähnt.

die ableitung über den differentialquotienten zu zeigen ist auch ne gute idee

24.02.2007, 15:58

OrangenTraum

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Ok hab das Referat jetzt folgendermaßen aufgeteilt

1. Potenzfunktion negative gerade Exponenten
2. Potenzfunktion negative ungerade Exponenten
3. Ableitung von negativen Potenzfunktionen

Folgende Eigenschaften bei 1 und 2

Definitionsbereich
Wertebereich
Asympotisches Verhältnis
Fixpunkte
Symmetrie
und Vergleich von verschiedenen Exponenten [z.B. $\begin{eqnarray*} x^{-2} und x^{-4} \end{eqnarray*}$

zu der 3. hab ich aber noch paar Fragen

Ich verstehe einfach nicht wie z.B. $\begin{eqnarray*} x^{-4} \end{eqnarray*}$ abgeleitet wird. Und warum ist eigentlich $\begin{eqnarray*} x^{-4} =\frac{1}{x^4} \end{eqnarray*}$ ??

Was kann ich denn über die Ableitung bei Potenzfunktionen erzählen ? Ich mein die Regel $\begin{eqnarray*} n*x^{n-1} \end{eqnarray*}$ ist doch eigentlich schon lange bekannt.
Man könnte diese Regel natürlich mit dem Differentialquotient beweisen, aber ich versteh noch nicht mal wie das geht haha

24.02.2007, 16:03

system-agent

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Zitat:

Original von OrangenTraum
Und warum ist eigentlich $\begin{eqnarray*} x^{-4} =\frac{1}{x^4} \end{eqnarray*}$ ??

per definition smile

smile

ich würd das auf die e-funktion zurückführen mit $\begin{eqnarray*} x=\exp(\ln x) \end{eqnarray*}$ , dann haste die ableitungsregel gleich für $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ bewiesen

24.02.2007, 19:42

OrangenTraum

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Sieht die Aufteiling schonmal gut aus oder fehlt noch was ?

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