Ortsvektor steht orthogonal auf Geschwindigkeitsvektor (Differentialgeometrie)

09.04.2013, 19:36	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Ortsvektor steht orthogonal auf Geschwindigkeitsvektor (Differentialgeometrie) Meine Frage: Hallo Leute, ich hänge hier an einer Aufgabe, vielleicht könnt ihr ja weiterhelfen: Sei $\begin{eqnarray} c: \mathbb R \to \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ eine differenzierbare Abbildung mit $\begin{eqnarray} c(t) \neq 0 \end{eqnarray}$ für alle t aus R. Sei außerdem $\begin{eqnarray} c(t_0) \end{eqnarray}$ ein Punkt im Bild von c, der den kleinsten Abstand zum Ursprung besitzt, und gelte $\begin{eqnarray} c'(t_0) \neq 0 \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie, dass dann der Ortsvektor $\begin{eqnarray} c(t_0) \end{eqnarray}$ orthogonal zu $\begin{eqnarray} c'(t_0) \end{eqnarray}$ ist. Meine Ideen: Also ich denke mal, dass ich die Orthogonalität über das Skalarprodukt zeigen muss: d.h. $\begin{eqnarray} \langle c(t_0),c'(t_0) \rangle = 0 \end{eqnarray}$ so das Skalarprodukt kann ich ja ausschreiben, wenn ich z.B wie folgt parametrisiere: $\begin{eqnarray} c(t) = (c_1(t),c_2(t)) \end{eqnarray}$ erhalte ich ja für den Geschwindigkeitsvektor: $\begin{eqnarray} c'(t) = (c_1'(t),c_2'(t)) \end{eqnarray}$ Ich muss jetzt bestimmt auf den minimalen Abstand eingehen, erst dachte ich man könne über die Abstandsfunktion und deren Ableitung argumentieren, allerdings geht das nicht, da die ja dann einen TP besitzen muss und daher die Ableitung Null werden muss, es ist aber gefordert, dass die Ableitung ungleich Null ist, in den Vorrausetzungen. Daher muss es über den minimalen Abstand gehen. Ich denke (hier bin ich mir unsicher), dass der minimalen Abstand ja durch eine "Gerade" realisiert werden kann, dieser ist evtl. genau der Normalenvektor. Wenn ich das zeigen kann, dann bin ja fertig, da der immer Senkrecht auf dem Geschwindigkeitsvektor (=Tangentialvektor) steht. Kann man so argumentieren oder muss das anders gehen? Wenn ja, wie zeigen ich das? Danke
09.04.2013, 19:40	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ortsvektor steht orthogonal auf auf Geschwindigkeitsvektor (Differentialgeometrie) Vielleicht hilft dir, dass $\begin{eqnarray} \langle c(t),c(t)\rangle \end{eqnarray}$ ein Extremum in $\begin{eqnarray} t_0 \end{eqnarray}$ haben muss und differenzierbar ist.
09.04.2013, 20:14	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ortsvektor steht orthogonal auf auf Geschwindigkeitsvektor (Differentialgeometrie) woher weiß ich das? Wenn ich das weiß, dann brauche ich ja nur noch abzuleiten (Produktregel beim Skalarprodukt) und die Info, dass es kommutativ ist. Die Ableitung ist ja Null in $\begin{eqnarray} t=t_0 \end{eqnarray}$ wegen dem Extremum.
09.04.2013, 20:18	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ortsvektor steht orthogonal auf auf Geschwindigkeitsvektor (Differentialgeometrie) Weil die Norm von $\begin{eqnarray} c(t) \end{eqnarray}$ an der Stelle $\begin{eqnarray} t_0 \end{eqnarray}$ ein Minimum haben soll.
09.04.2013, 20:37	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ortsvektor steht orthogonal auf auf Geschwindigkeitsvektor (Differentialgeometrie) Also, die Norm nenne ich mal d. dann gilt doch allgemein: $\begin{eqnarray} d(x,y) = \|\|x-y\|\| \end{eqnarray}$ wobei hier nun die euklidische Norm verwendet wird und x,y Punkte im R^2 sind. Wähle ich jetzt y=(0,0) also den Ursprung $\begin{eqnarray} O \end{eqnarray}$ erhalte ich ja wenn ich für x = einen Punkt c(t) (auch ein 2dim. Punkt) verwende: $\begin{eqnarray} d(c(t),O) = \|\|c(t)-0\|\| \end{eqnarray}$ in beiden Komopnenten. es gilt ja: $\begin{eqnarray} \|\|c(t) \|\| = \sqrt{\langle c(t),c(t)\rangle} \end{eqnarray}$ da die Wurzel monoton ist, hat: $\begin{eqnarray} \langle c(t),c(t)\rangle \end{eqnarray}$ das Extremum an der selben Stelle, hier nämlich bei t_0. Also ist die Ableitung hier für 0 und erhalte grob: $\begin{eqnarray} \langle c(t_0),c(t_0)\rangle' = \langle c'(t_0),c(t_0)\rangle + \langle c(t_0),c'(t_0)\rangle = 0 \end{eqnarray}$ . Es folgt: $\begin{eqnarray} \langle c'(t_0),c(t_0)\rangle = 0 \end{eqnarray}$ und somit die Orthogonalität.
09.04.2013, 20:39	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ortsvektor steht orthogonal auf auf Geschwindigkeitsvektor (Differentialgeometrie) Ja, so stimmt es. Den ersten Teil hätte ich aber folgendermaßen abgekürzt: Da $\begin{eqnarray} \lVert c(t)\rVert \end{eqnarray}$ ein Minimum in $\begin{eqnarray} t_0 \end{eqnarray}$ hat, hat auch $\begin{eqnarray} \langle c(t),c(t)\rangle=\lVert c(t)\rVert^2 \end{eqnarray}$ ein Minimum in $\begin{eqnarray} t_0 \end{eqnarray}$ . Nix mit Metrik.
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09.04.2013, 20:48	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ortsvektor steht orthogonal auf auf Geschwindigkeitsvektor (Differentialgeometrie) Okay, vielen Dank für die schnelle Hilfe!

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