Ungleichung beweisen (Vollständige Induktion?)

09.04.2013, 21:57

Amplitude

Ungleichung beweisen (Vollständige Induktion?)

Meine Aufgabe lautet, dass ich zeigen soll, dass

$\begin{eqnarray*} \frac{(N+4)!}{((N+1)!)^{2} } \leq \frac{9}{N} \end{eqnarray*}$ ist.
N ist aus den Natürlichen Zahlen (Ohne die Null, sprich ab 1,2,3,4,......., n).

Wie beweise ich das? Ich kann eigentlich recht gut mit der vollständigen Induktion umgehen, jedoch nur für Gleichheiten. Wie gehe ich bei Ungleichungen vor?

09.04.2013, 22:16

Amplitude

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Ich habe nochmal etwas nachgedacht und komme deshalb zum Entschluss das man den IA normal wie auch bei Gleichheiten mit A(1) machen kann. Und dafür ebend die Ungleichung beweisen.

Kann ich so auch einfach mit dem IS und der dazugehörigen IV vorangehen ? Bin mir irgendwie unsicher, da ich eigentlich bisher immer Summenformeln=Gleichung bewiesen habe.

09.04.2013, 22:29

HAL 9000

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Diese Ungleichung gilt nicht für alle natürlichen Zahlen $\begin{eqnarray*} N\geq 1 \end{eqnarray*}$ - setz doch z.B. mal zur Probe $\begin{eqnarray*} N=1 \end{eqnarray*}$ ein. Augenzwinkern

Richtig ist allerdings, dass sie für alle $\begin{eqnarray*} N\geq N_0 \end{eqnarray*}$ mit einem gewissen (zu findenden?) Anfangsindex $\begin{eqnarray*} N_0 \end{eqnarray*}$ gilt.

09.04.2013, 22:29

Grautvornix

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RE: Ungleichung beweisen (Vollständige Induktion?)

Zitat:

Original von Amplitude
N ist aus den Natürlichen Zahlen (Ohne die Null, sprich ab 1,2,3,4,......., n).

Das würde ich überdenken und einen IA für N=5 erwägen.

11.04.2013, 01:25

Amplitude

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Wenn das nicht zutreffen mag, wie kann ich dann die Ungleichung beweisen für alle n aus N ?

11.04.2013, 08:12

Grautvornix

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Zitat:

Original von Amplitude
Wenn das nicht zutreffen mag, wie kann ich dann die Ungleichung beweisen für alle n aus N ?

Gar nicht, denn sie gilt nur für alle $\begin{eqnarray*} N\geq 5 \end{eqnarray*}$ und das lässt sich bequem per Induktion beweisen.

11.04.2013, 09:24

Amplitude

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Mal eine Frage, wie bekommt man ganz schnell heraus, dass eine Gleichung/Ungleiichung erst ab einem bestimmten Anfangsindex gilt, sodass als IA hier z.b. erst N größer gleich 5 Sinn macht ?

Es werden doch sicher nicht die ersten Folgen von k=0,1,2,3,4 etc. ausprobiert bis die Ungleichung bzw. Gleichung Sinn macht?

11.04.2013, 11:13

Grautvornix

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Das die Ungleichung für hinreichend große $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ gilt ist sofort klar wenn man sich die linke Seite mal etwas genauer anguckt.
Um nun genau herauszufinden ab welchem $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ sie gilt - nun da setzt man tatsächlich am besten ein paar konkrete Werte ein und rechnet oder lässt rechnen.

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