Implikation bzgl. direkter Summe beweisen bzw widerlegen

10.04.2013, 14:51

Lamiah

Implikation bzgl. direkter Summe beweisen bzw widerlegen

Sei V ein dimensionaler K-Vektorraum und f: V ->V linear. Beweisen oder widerlegen Sie:

$\begin{eqnarray*} a) \quad V= im(f) \oplus ker(f) \Rightarrow im(f^n)=im(f) \quad \forall n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b) \quad f^j \neq 0 \quad \forall j \in \mathbb{N} \Rightarrow \exists i \in \mathbb{N}: V= ker(f^i) \oplus im(f^i) \end{eqnarray*}$

Ich bin ideenlos und finde keinen Ansatz. Kann mir jemand ein wenig auf die Sprünge helfen?

10.04.2013, 17:41

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Zur a)

Du solltest dir klarmachen, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ eingeschränkt auf $\begin{eqnarray*} im(f) \end{eqnarray*}$ unter der Vorraussetzung ein Isomorphismus ist. Dies zeigt $\begin{eqnarray*} im(f^2) = f(im(f)) = im(f) \end{eqnarray*}$ .

Dass die Aussage dann für alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gilt, ist nur eine klitzekleine Folgerung.

Zur b) Gilt für ein beliebiges $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ , dass $\begin{eqnarray*} ker(f^i) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} im(f^i) \end{eqnarray*}$ einen gemeinsamen Schnitt haben, so gilt notwendigerweise $\begin{eqnarray*} ker(f^{2i}) \varsupsetneq ker(f^i) \end{eqnarray*}$ . Was kannst du damit anfangen?

PS: Die Vorraussetzung bei der b) ist übrigens hinfällig. Gilt die Vorraussetzung nicht, so ist die rechte Aussage trivialerweise wahr.

10.04.2013, 19:17

Lamiah

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von tmo
Zur a)

Du solltest dir klarmachen, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ eingeschränkt auf $\begin{eqnarray*} im(f) \end{eqnarray*}$ unter der Vorraussetzung ein Isomorphismus ist. Dies zeigt $\begin{eqnarray*} im(f^2) = f(im(f)) = im(f) \end{eqnarray*}$ .

Dass die Aussage dann für alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gilt, ist nur eine klitzekleine Folgerung.

D.h. ich soll zeigen, dass f sowohl ein Homomorphismus als auch bijektiv ist. Ersteres folgt direkt aus der Linearität.
Dass f injektiv ist, ist auch klar, denn aus $\begin{eqnarray*} im(f) \cap ker(f)=\{0\} \Rightarrow ker f |_{im(f)} = \{0\} \Rightarrow f |_{im(f)} \mbox{ injektiv.} \end{eqnarray*}$
Aber wie zeige ich, dass f auch surjektiv ist?

10.04.2013, 19:21

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn man f auf sein Bild einschränkt, ist es doch weiterhin ein Endomorphismus eines endl. dim. Vektorraum. Da fallen injektiv und surjektiv doch zusammen.

10.04.2013, 19:33

Lamiah

Auf diesen Beitrag antworten »

Warum?

10.04.2013, 21:17

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Wer stellt dir denn solche Aufgaben, wenn du noch nichtmal weißt, dass Injektivität und Surjektivität bei Homomorphismen zwischen Räumen gleicher Dimension äquivalent sind.

D.h. ein direktes Korollar aus der Dimensionsformel. Und das ist normalerweise so ziemlich das Erste, was man über lineare Abbildungen lernt. Eigentlich solltest du das also schon kennen.

10.04.2013, 21:29

Lamiah

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, habe gerade in meine alten Unterlagen geblättert und da so einen schönen Satz dazu gefunden. Ich bin erst im 2. Semester und tue mich immer noch schwer. unglücklich

Neue Frage »

Antworten »

Implikation bzgl. direkter Summe beweisen bzw widerlegen

Verwandte Themen