Kreiszahl Pi in der Kreisfrequenz - warum x 2?

10.04.2013, 16:05

Capsicum

Kreiszahl Pi in der Kreisfrequenz - warum x 2?

Meine Frage:
Hallo an die Spezialisten im Forum!

Ich grüble nun schon länger an einer wahrscheinlich eher einfache Frage herum:
Die Zahl PI ergibt sich doch zB daraus, das ein Kreis, wenn er sich einmal um sich selber dreht, den Wert Pi zurücklegt.
Nun gigbt es ja die Formel der Kreisfrequenz. Dort taucht das Pi aber x2 auf: ? = 2 ? · ?

Tut mir leid, aber es fehlt mir die Erleuchtung - allerdings fehlen mir auch sicherlich mathematische Grundvorrauusetzungen, um es mir begreiflich zu machen, wo da der Unterschied ist. ich würde mich freuen, wenn mich ein Fachmann mal aufklären könnte, vielen Dank!

Meine Ideen:
Ich vermute, dass es was mit dem Radius und dem Bogenmaß zu tun hat - ich kann es mir nicht erklären..
Die Kreisfrequenz beschreibt doch die Winkelgeschwindigkeit - aber hier dreht er sich doch auch "nur einmal im Kreis" pro Einheit also U= ?*D.
Ich weiß, das mann das auch über den radius mit 2 ?r rechnnen kann.
Wo ist bloß mein Denkfehler

10.04.2013, 16:12

Steffen Bühler

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RE: Kreiszahl Pi in der Kreisfrequenz - warum x 2?
Willkommen im Matheboard!

Wenn Du Dir die Definition eines Winkels klarmachst, legt sich wahrscheinlich Deine Verwirrung. Die ist nämlich das Verhältnis von Bogenlänge zu Radius.

Das, was wir gern als 360° bezeichnen (also "einmal rum"), ist mathematisch somit das Verhältnis von Umfang eines Vollkreises zu seinem Radius. Und das ist nun einmal 2pi. Und das ist genau dasselbe wie 360°.

Die Kreisfrequenz oder Winkelgeschwindigkteit gibt dann an, wie oft pro Sekunde diese 360° oder eben 2pi gedreht werden.

Viele Grüße
Steffen

10.04.2013, 16:15

Lampe16

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RE: Kreiszahl Pi in der Kreisfrequenz - warum x 2?

Zitat:

Original von Capsicum

Die Zahl PI ergibt sich doch zB daraus, das ein Kreis, wenn er sich einmal um sich selber dreht, den Wert Pi zurücklegt.

Nein, der Umfang eines Kreises mit dem Radius 1 beträgt $\begin{eqnarray*} 2\pi. \end{eqnarray*}$

10.04.2013, 20:59

Capsicum

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RE: Kreiszahl Pi in der Kreisfrequenz - warum x 2?
Das erscheint mir auch irgendwie alles soweit sinnvoll.
Was ist aber von der Aussage:
Zitat Wikipedia zur Kreiszahl:
[...] "Ein Kreis mit einem Durchmesser von 1 hat einen Umfang von pi"

.. also nicht 2pi!

mir ist vollkommen klar, dass ich einen Denkfehler mache - weiß aber nicht wo...

10.04.2013, 21:01

kgV

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Weil alle anderen grade Off sine: Lampe spricht vom Radius, du vom Durchmesser. Da kannst du nur die Hälfte rauskriegen... Augenzwinkern

lg
kgV

10.04.2013, 21:08

Capsicum

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Haha, Danke - lesen sollte man schon können...

Warum ist es denn aber wichtig, dass also mit dem Radius in den Formeln gearbeitet wird und nicht mit dem Durchmesser? Da würde ich doch glatt ein pi fallen lassen können?...

10.04.2013, 21:13

kgV

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Naja, der Radius ist manchmal eben etwas praktischer zu handhaben... v.a. wenn du das Verhältnis aus RADIUS und Bogenlänge bestimmen musst... Augenzwinkern

Darum geht es doch noch, oder?

10.04.2013, 21:29

Capsicum

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Ja... ich will nur verstehen,was ich da rechne.
Könnte mir jemand die Formel zur Kreisfrequenz im Detail (!) herleiten?

10.04.2013, 21:29

Dopap

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RE: Kreiszahl Pi in der Kreisfrequenz - warum x 2?

Zitat:

Original von Steffen Bühler
Die Kreisfrequenz oder Winkelgeschwindigkteit gibt dann an, wie oft pro Sekunde diese 360° oder eben 2pi gedreht werden.

bei Frequenz kann ich zustimmen.

Bei Winkelgeschwindigkeit nicht. Die ist erstmal als $\begin{eqnarray*} \frac { \dd \varphi (t) }{\dd t} \end{eqnarray*}$ zu sehen.

Bei konstanter Winkelgeschwindigkeit auch als $\begin{eqnarray*} \frac {\Delta \varphi}{\Delta t} \end{eqnarray*}$

10.04.2013, 21:45

Capsicum

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RE: Kreiszahl Pi in der Kreisfrequenz - warum x 2?
dasmit der Frequenz ist mir jetzt auch aufgefallen - Dummerweise habe ich kein Verständnis für deine Formeln ( bin kein Akademiker...)

Vielleicht sollte ich fragen, was der Unterschied zwischen Frequenz und Winkelgeschwindigkeit eigentlich ist

Soweit ich vertsanden habe, ist die Frequenz die Angabe, wie oft ein periodischer Vorgang in einer Sekunde stattfindet.
Während die Kreisfrequenz die Zeit angibt, wie schnell sich der Radius um 360° dreht ...

10.04.2013, 21:58

kgV

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Ein Versuch der Herleitung:
Wir bewegen uns im Einheitskreis. Es gilt: $\begin{eqnarray*} U=2\pi \end{eqnarray*}$
Die Kreisfrequenz ist die Häufigkeit, mit der pro Sekunde der Umfang umstrichen wird. Deshalb Haben wir: $\begin{eqnarray*} \omega=U\cdot f=2r\cdot\pi\cdot f=2\pi\cdot f \end{eqnarray*}$
Das wäre meine Herleitung des Ganzen, ich kann aber dafür keine physikalische Garantie geben

10.04.2013, 23:49

Dopap

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nun, der Unterschied ist einfach:

periodische Vorgänge haben eine Frequenz.

z.b. ein Becken läuft langsam voll und entleert sich dann rasch. usw

ganz anderst beim Feder-Pendel: die Auslenkung ist eine Sinus-Schwingung , in Übereinstimmung mit der Projektion eines rotierenden Punktes auf eine der Achsen.

z.b. $\begin{eqnarray*} y(t)= A\sin(\omega t) \end{eqnarray*}$

und hier ist $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ eben die Winkelgeschwindigkeit.

Wobei hier natürlich auch eine Frequenz auftritt.

Beim Strom haben wir auch eine solche Schwingung, aber da interessiert niemand die Winkelgeschwindigkeit, sondern nur die Frequenz, f=50Hz

11.04.2013, 09:11

Lampe16

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Zitat:

Original von Dopap
ganz anderst beim Feder-Pendel: die Auslenkung ist eine Sinus-Schwingung , in Übereinstimmung mit der Projektion eines rotierenden Punktes auf eine der Achsen.

z.b. $\begin{eqnarray*} y(t)= A\sin(\omega t) \end{eqnarray*}$

und hier ist $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ eben die Winkelgeschwindigkeit.

In dem Beispiel (ich verstehe das Feder-Pendel als federnd aufgehängte Masse, die vertikal schwingt) ist $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ die konstante Kreisfrequenz der Schwingung. Bei einem translatorischen (einachsigen) Schwinger (Feder-"Pendel") gibt es keinen Winkel und keine WG.

Wenn $\begin{eqnarray*} y(t)= A\sin(\omega t) \end{eqnarray*}$ als eine Positionskoordinate eines im Abstand $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ um eine Achse umlaufenden Punktes zu verstehen ist, würde ich $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ im Sinus-Argument auch als Kreisfrequenz bezeichnen, die allerdingws wertgleich mit der Winkelgeschwindigkeit des Orbits ist.

Bei Pendel denkt man allerdings eher an eine Standuhr. Da ist der Ausschlag ein Winkel, und da gibt es eine zeitveränderliche Winkelgeschwindigkeit. Die wird bei kleinen Winkelamplituden mit einer konstanten Kreisfrequenz oder Frequenz im Argument des Sinus oder Kosinus beschrieben.

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