Schnittkurve Zylinder/Sphäre parametrisieren

10.04.2013, 18:42

Vinterblot

Schnittkurve Zylinder/Sphäre parametrisieren

Hallo,

ich bin grad völlig Ahnungslos und benötige noch einen Ansatz für diesen Aufgabentyp.

Zitat:

Parametrisieren Sie die Schnittkurve der Sphäre x^2 + y^2 + z^2 = 16 mit dem Zylinder x^2+(y-2)^2 = 4, die im ersten Oktanten liegt.

Ich benötige erstmal eine Idee, wie ich da überhaupt rangehe. Durch Recherche bin ich momentan in dem glauben, dass Gleichsetzen hier gefragt ist, aber dass ist alles recht diffus.

Es würde schon reichen, wenn jemand einen Link zu einer guten Einführung in das Thema hätte, kostenlose e-Books, Skripte o.ä.

11.04.2013, 14:30

Leopold

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Der Glaube an das "Gleichsetzen" beim Berechnen eines Schnitts läßt sich einfach nicht ausrotten. Das liegt daran, daß die Leute seit der Schule ein formales Verfahren anwenden, ohne es je verstanden zu haben. Warum berechnet man denn in der Schule den Schnittpunkt zweier Graphen durch "Gleichsetzen"?
Hier liegt nun die Situation, die ein "Gleichsetzen" rechtfertigen würde, einfach nicht vor. Denn die Flächen sind durch implizite Gleichungen gegeben. Und wie löst man das nun? Ich weiß nicht, ob es überhaupt ein praktikables Verfahren gibt, das solche Probleme in allgemeinerer Form abhandelt. Ich kann daher nur zur konkreten Aufgabe etwas sagen. Es fällt ja auf, daß die zweite Gleichung in der $\begin{eqnarray*} xy \end{eqnarray*}$ -Ebene einen Kreis darstellt. Man kann daher einen Ansatz in Polarkoordinaten versuchen:

$\begin{eqnarray*} x = 2 \cos t \, , \ y-2 = 2 \sin t \ \ \text{mit} \ \ t \in I \end{eqnarray*}$

Wenn man $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ ein volles Intervall der Länge $\begin{eqnarray*} 2 \pi \end{eqnarray*}$ durchlaufen läßt, erhält man alle Punkte der $\begin{eqnarray*} xy \end{eqnarray*}$ -Ebene mit $\begin{eqnarray*} x^2 + (y-2)^2 = 4 \end{eqnarray*}$ . Wie muß man daher das Intervall $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ wählen, wenn man nur den I. Quadranten, auf den sich ja der I. Oktant stützt, erreichen will?
Und was ist schließlich mit $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ ?

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