beliebige invertierbare Matrix in andere Matrix transformieren

10.04.2013, 18:42	Christina90	Auf diesen Beitrag antworten »
beliebige invertierbare Matrix in andere Matrix transformieren Meine Frage: Hallo, ich komme ins 6. Semester und arbeite gerade an einem Seminarvortrag über algebraische Kurven, Thema: Klassifikation von Kubiken. In einem Beweis hat man die quadratische Form $\begin{eqnarray} (x_1 , x_2) \begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ gegeben und weiß, dass die Matrix vollen Rang hat, also invertierbar ist. Um die quadratische Form zu vereinfachen, möchte man die Matrix zur Matrix $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & 0,5 \\ 0,5 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ transformieren. Wie macht man das? Meine Ideen: Ich habe bisher versucht, dies durch einen Basiswechsel zu erreichen und es an einem Beispiel durchgerechnet, kam jedoch (immer) zu einem Widerspruch. Mit Basiswechsel meine ich, dass ich $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ als Abbildungsmatrix mit der Standardbasis auffasse und zur neuen Abbildungsmatrix $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & 0,5 \\ 0,5 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ die zugehörige Basis $\begin{eqnarray} \left\{ \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray}$ finde. D.h. es muss dann gelten: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 0,5 \\ 0,5 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ich weiß nicht, ob die benötigte Transformation ein Basiswechsel ist bzw. ob ein Basiswechsel bei einer quadratischen Form einen Sinn ergibt. Bitte helft mir
10.04.2013, 18:57	Christina90	Auf diesen Beitrag antworten »
Kleiner Nachtrag: Bei $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ handelt es sich um projektive Koordinaten.
10.04.2013, 20:50	watcher	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Christina, um dir sinnvoll weiterhelfen zu können fehlt es zumindest mir noch an ein paar Informationen. Was ist der Grundring/körper der quadratischen Form? Was meinst du mit transformieren? Welchen Begriff der Äquivalenz von Formen verwendet ihr? Für projektive Quadriken verwendet man i.d.R. $\begin{eqnarray} A\sim B:\Leftrightarrow \exists S: S^tAS= \lambda B \end{eqnarray}$ für ein $\begin{eqnarray} \lambda \neq 0 \end{eqnarray}$ Ein Basiswechsel erhält u.a das charakterische Polynom. Daher kann nicht jede Matrix per Basiswechsel in die von dir gewünschte Form gebracht werden.
10.04.2013, 21:20	Christina90	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deine Antwort Die Quadratische Form ist "ein Teil" einer Kubik in der projektiven Ebene $\begin{eqnarray} {\mathbb P^{2}}_\mathbb C \end{eqnarray}$ . Die Gleichung der Kubik lautet $\begin{eqnarray} x_0(a x_1² + 2b x_1 x_2 + c x_2²) + dx_1³ + ex_1²x_2 + fx_1x_2² + g x_2³ = 0 \end{eqnarray}$ . Indem man die die Matrix der quadratischen Form auf $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & 0,5 \\ 0,5 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ transformiert (ich kann das leider nicht spezifizieren, da das im Beweis ohne Zusatz so genannt wird), soll die Gleichung der Kubik auf $\begin{eqnarray} x_0x_1x_2 + dx_1³ + ex_1²x_2 + fx_1x_2² + g x_2³ = 0 \end{eqnarray}$ vereinfacht werden.
10.04.2013, 22:32	watcher	Auf diesen Beitrag antworten »
Leider fehlt mir dazu nichts geometrisch oder anderweitig Erleuchtendes ein. Stumpfe Rechnerei hilft aber: mittels $\begin{eqnarray} S \begin{pmatrix} 0 & 0,5 \\ 0,5 & 0 \end{pmatrix} S^t = \begin{pmatrix} a &b \\b & c \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ kann man so ein S basteln. (man kann einen Eintrag von S 1 setzen wenn man sich sicher ist das dieser nicht 0 ist.)

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