Zweimalige Integration nach u

11.04.2013, 11:30	Rennsusi	Auf diesen Beitrag antworten »
Zweimalige Integration nach u Meine Frage: Hallo. Ich habe folgende Gleichung: $\begin{eqnarray} \frac{dp}{dx} = \frac{d}{dy} (n\frac{du}{dy}) \end{eqnarray}$ Diese muss zweimal nach u integriert werden, so dass schließlich das raus kommt: $\begin{eqnarray} u(y) = (1-\frac{y}{h})u_{1} + \frac{u_{2}}{h}y - \frac{1}{2n} \frac{dp}{dx} y(h-y) \end{eqnarray}$ Als Randbedingung gilt: $\begin{eqnarray} y=0; u=u_{1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y = h; u = u_{2} \end{eqnarray}$ Integriert wird letztendlich in den Grenzen von y bis h bzw von 0 bis h. Wie mach ich das? Meine Ideen:* Also wenn ich die rechte Seite der Gleichung nach y integriere, dann müsste ja schon $\begin{eqnarray} \frac{1}{2n} \frac{dp}{dx} y(h-y) \end{eqnarray*}$ raus kommen. Nur wie mach ich das weiter? Was kommt beim ersten mal integrieren links raus und vor allem dann beim zweiten mal? Oder muss ich schon beim ersten mal nach u integrieren? Danke für eure Hilfe.
11.04.2013, 11:59	zyko	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zweimalige Integration nach u Ersetze die Gleichung: $\begin{eqnarray} \frac{dp}{dx} = \frac{d}{dy} (n\frac{du}{dy}) \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} a(x) = \frac{d}{dy} b(y) \end{eqnarray}$ Löse diese DGL nach b(x) auf (Integrationskonstante nicht vergessen) und löse danach die DGL $\begin{eqnarray} n\frac{du}{dy} = b(y) \end{eqnarray*}$ Ersetze aber hierin b(y) durch die zuvor bestimmte Lösung, in der a(x) und y drin vorkommen. x spielt bei deiner DGL keine Rolle, deshalb kannst du dieses ignorieren.
11.04.2013, 12:46	Rennsusi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zweimalige Integration nach u Danke schonmal. Aber wenn ich das ersetze und nach b(x) auflöse, wie setz ich es dann für b(y) ein? Müsste ich es dazu nicht nach b(y) lösen? Und ich steh beim lösen ein bisschen auf dem Schlauch. Ist doch schon viele Jahre her, dass ich das gelernt habe...
11.04.2013, 12:59	Rennsusi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zweimalige Integration nach u Muss ich dazu beide Seiten, also das $\begin{eqnarray} a(x) \end{eqnarray}$ und das $\begin{eqnarray} \frac{d}{dy} b(y) \end{eqnarray}$ einzeln nach x integrieren? für $\begin{eqnarray} a(x) \end{eqnarray}$ müsste dann also $\begin{eqnarray} \int \! a(x) \, dx = \frac{1}{2} (a(x))^{2} +c \end{eqnarray}$ Und wie ist das mit b(y)? Passt das wie ich angefangen habe?
12.04.2013, 13:11	zyko	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zweimalige Integration nach u Sorry, dass ich einmal b(x) geschrieben habe. Es muss immer b(y) heißen. Aus $\begin{eqnarray} a(x)=\frac{d}{dy}b(y) \end{eqnarray}$ wird $\begin{eqnarray} a(x) dy =d b(y) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int a(x) dy =\int d b(y) \end{eqnarray}$ Da die rechte Seite nicht von x abhängt, kann a(x) durch eine Konstante a ersetzt werden. $\begin{eqnarray} a \int dy =\int 1 d b \end{eqnarray}$ linke Seite a ist nicht von y abhängig; rechte Seite: es wird nach b integriert. $\begin{eqnarray} a y = b(y) +C_1 \end{eqnarray}$ Diese Gleichung auflösen nach b(y) und Rücksubstitution (rechte Seite: s. Ausgangs DGL) $\begin{eqnarray} b(y) = a \cdot y -C_1= n\cdot \frac{du}{dy} \end{eqnarray}$ also noch die DGL $\begin{eqnarray} a \cdot y -C_1= n\cdot \frac{du}{dy} \end{eqnarray}$ lösen durch Integration von $\begin{eqnarray} \int a \cdot y -C_1 \, dy= \int n\cdot du \end{eqnarray}$ zweite Integrationskonstante nicht vergessen. Mit den zwei Randbedingungen können die beiden Integrationskonstanten bestimmt werden.
16.04.2013, 12:55	Rennsusi	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey super vielen Dank. Ist ja gar nicht so schwer. Wenn man wieder weis, wie man vorzugehen hat, dann klappt das ganz gut, stand nur etwas auf dem Schlauch.
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