Integral mit Reihenentwicklung berechnen

11.04.2013, 14:38	Christian_P	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral mit Reihenentwicklung berechnen Hallo, ich brauche mal eure Hilfe! Das Integral $\begin{eqnarray} \int_{2}^{4}e^{\frac{1}{x}}dx \end{eqnarray}$ soll mit einer Genauigkeit von $\begin{eqnarray} 10^{-3} \end{eqnarray}$ berechnet werden. Das ist keine Numerik-Aufgabe, sondern sie ist aus Ana 3. Mein Ansatz ist der folgende: Ich nutzte die Reihenentwicklung von $\begin{eqnarray} e^{\frac{1}{x}} \end{eqnarray}$ und integriere diese gliedweise. $\begin{eqnarray} e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} \; \rightsquigarrow \; e^{\frac{1}{x}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{x^n n!} \end{eqnarray}$ jetzt kommt's $\begin{eqnarray} \int \frac{1}{x^n n!}dx \; = \; \frac{x^{1-n}}{(1-n)n!} \; + C \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{1-n}}{(1-n)n!} \end{eqnarray}$ ist nicht definiert für das Summenglied bei $\begin{eqnarray} n=1 \end{eqnarray}$ da habe ich dann den $\begin{eqnarray} \ln{(\|x\|)} \end{eqnarray}$ an dieser Stelle. Für den ist aber auch wiederum eine Näherung notwendig. Hab ich etwas übersehen, wie es vielleicht einfacher ginge? Viele Grüße
11.04.2013, 14:49	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
Was spricht denn dagegen, den Summanden 1/x gesondert zu behandeln? Außerdem ist doch keine Reihe für ln(x) notwendig, man kann doch einfach ln(4)-ln(2)=ln(2) benutzen. Edit: Im Übrigen tauchen bei bestimmten Integralen keine Integrationskonstanten auf.
11.04.2013, 14:55	Christian_P	Auf diesen Beitrag antworten »
Aha super, danke RavenOnJ! Das mit dem Logarithmus hatte ich gar nicht gesehen, danke!
11.04.2013, 16:06	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
Und wie bekommst du das mit der Genauigkeit hin? Da liegt wohl die Hauptschwierigkeit der Aufgabe.
11.04.2013, 17:13	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral mit Reihenentwicklung berechnen Hallo ich hab das mal gerechnet: ich komme auf 2.835
11.04.2013, 17:27	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
@grosserloewe Woher weißt du, dass du innerhalb der Genauigkeit bleibst?
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11.04.2013, 18:25	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral mit Reihenentwicklung berechnen Hallo indem ich eine Restgliedabschätzung gemacht habe.
11.04.2013, 21:09	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
und wie?
11.04.2013, 23:49	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral mit Reihenentwicklung berechnen Hallo, ich hab das mal berechnet: Wie gesagt , es ist NUR eine Abschätzung und KEIN genauer Wert.
12.04.2013, 12:34	Christian_P	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo grosserloewe, ich danke dir! Das hilft mir auch weiter, da ich mir über die Abschätzung noch keine Gedanken gemacht habe. Ich komme auf den gleichen Zahlenwert. Gruß

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