zweidimensionale Funktion bestimmen

11.04.2013, 22:53

Tobl

zweidimensionale Funktion bestimmen

Meine Frage:
Hallo,

ich versuche eine Funktion $\begin{eqnarray*} f(x,y) \end{eqnarray*}$ zu finden, die im Bereich
$\begin{eqnarray*} 0<=x<=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0<y<1 \end{eqnarray*}$
folgende Bedingungen erfüllt
$\begin{eqnarray*} f(0,y)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(1,y)=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(y,y)=0.5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x,y)=1-f(1-x,1-y) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Leider studiere ich etwas ganz und gar nicht mathematisches (Gestaltung) und hatte mit zweidimensionalen Funktionen noch nicht zu tun.
In Anlehnung an die "Steckbriefaufgaben" von früher habe ich mal
$\begin{eqnarray*} f(x,y)=a+b*x+c*y+d*xy \end{eqnarray*}$
aufgestellt, und aus den Bedingungen oben
$\begin{eqnarray*} a+d*xy=0.5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a+c*y=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b+d*y=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b*y+d*y^2=0.5 \end{eqnarray*}$
gemacht, allerdings bekomme ich die Gleichungen nicht weiter aufgelöst.

Danke schon mal für eure Hilfe,
Tobias

12.04.2013, 10:29

Steffen Bühler

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RE: zweidimensionale Funktion bestimmen
Du willst also so etwas wie in der Tabelle, die ich mal angehängt habe.

Da könnte man nun die Hälfte der noch freien Felder willkürlich mit Zufallszzahlen ausfüllen, und mit der Bedingung f(x,y)=1-f(1-x,1-y) die andere Hälfte bestimmen. Da gibt's somit unendlich viele Möglichkeiten.

Ich habe daher das dumpfe Gefühl, dass da noch was fehlt. Sollen vielleicht nur Zahlen zwischen 0 und 1 eingetragen werden? Sollen benachbarte Zahlen irgendwelche Eigenschaften haben?

Viele Grüße
Steffen

12.04.2013, 20:49

Tobl

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RE: zweidimensionale Funktion bestimmen
Ja, die Tabelle stimmt, aber du hast auch recht, ich hab nicht genug infos gegeben, deshalb hier mal ganz konkret mein problem und nicht so abstrakt wie vorher:
Was ich zu guter letzt erreichen möchte, ist eine funktion, mit der ich eine skala verzerren kann, so dass die werte auf einer seite enger zusammen liegen, und auf der anderen seite weiter auseinander. wichtig ist dabei, dass die funktion symmetrisch ist, damit ich gleichermaßen in beide richtungen verzerren kann. ich hab mal einen graph mit beispielwertern für y angehängt, wie ich mir die funktion so ungefähr vorstelle.
danke schonmal,
tobias

[attach]29553[/attach]

13.04.2013, 11:17

HAB

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RE: zweidimensionale Funktion bestimmen
In dem gedrehten roten System könnten deine Kurven als Parabeln gedeutet werden.
Der Parameter y charakterisiert die Lage des Scheitelpunktes.
Die entsprechenden Transformationsgleichungen müsste man sich noch überlegen.

13.04.2013, 12:29

Tobl

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RE: zweidimensionale Funktion bestimmen
Danke für die Idee.

es scheint nur zu funktionieren für 0.1~<y~<0.9, aber das ist schon deutlich besser als alles, was mir so eingefallen ist.

13.04.2013, 17:09

Huggy

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RE: zweidimensionale Funktion bestimmen
Könnte das deiner Vorstellung entsprechen?

$\begin{eqnarray*} f(x,y)=(1-(1-x)^{2y})^\frac {1}{2y} \text { für } 0<y\leq .5 \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} y>.5 \end{eqnarray*}$ wird durch die Symmetriebedingung ergänzt. So sehen die Kurven für y=.1 bis .9 im Abstand .1 aus:

[attach]29567[/attach]

13.04.2013, 18:48

Tobl

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RE: zweidimensionale Funktion bestimmen
danke huggy, die funktion sieht super aus. f(y,y)=0.5 gilt leider nicht und ich kann die gleichung auch nicht genau auf y lösen (mathematica und co auch nicht, k.a., ob das überhaupt geht), aber für einen großen Teil scheint man das mit einem einfachen y=v*y annähern zu können.
vielen dank nochmal an alle.

13.04.2013, 19:32

Huggy

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RE: zweidimensionale Funktion bestimmen

Zitat:

Original von Tobl
danke huggy, die funktion sieht super aus. f(y,y)=0.5 gilt leider nicht

Das ist richtig. Das galt aber bei deinen Beispielkurven auch nicht. So nach Augenmaß würde ich z. B. bei deinen Kurven schätzen f(0.1, 0.1) = ca. 0.25

Zitat:

und ich kann die gleichung auch nicht genau auf y lösen (mathematica und co auch nicht, k.a., ob das überhaupt geht)

Formelmäßig geht das nicht. Aber numerisch natürlich schon. Bei Mathematica kannst du FindRoot verwenden.

13.04.2013, 20:04

Tobl

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RE: zweidimensionale Funktion bestimmen

Zitat:

Original von Huggy
Das ist richtig. Das galt aber bei deinen Beispielkurven auch nicht. So nach Augenmaß würde ich z. B. bei deinen Kurven schätzen f(0.1, 0.1) = ca. 0.25

Die Beispielkurven sind einfach freihand gezogene Bezieres, aber eigentlich passen die schon. Die y=0.1 Kurve ist etwas ungenau, so dass f(0.1,0.1)~=0.53 ist, aber mehr Abweichung ist da nicht; hast du vielleicht von der lilanen y=0.3 kurve abgelesen?
Und nur um das nochmal ganz deutlich zu sagen: das sollte ganz sicher kein Vorwurf sein. Die Funktion passt nicht perfekt, aber sie ist weit besser als alles was ich zustande gebracht habe und hätte.

Zitat:

Formelmäßig geht das nicht. Aber numerisch natürlich schon. Bei Mathematica kannst du FindRoot verwenden.

Leider wird das ganze nachher bestandteil eines scripts, so dass numerische Lösungen nicht funktionieren, aber trotzdem danke. Ich werde einfach versuchen, eine Funktion y'=g(y) zu finden, mit der sich das möglichst gut angleichen lässt.

15.04.2013, 11:32

Steffen Bühler

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RE: zweidimensionale Funktion bestimmen
Vielleicht noch mal ein anderer Ansatz: in der Bildverarbeitung wird zur Grauwertkorrektur eine Funktion verwendet, die Deinen Kurven recht ähnlich sieht: $\begin{eqnarray*} f(x)=x^\gamma \end{eqnarray*}$ . Hier drei Kurven für $\begin{eqnarray*} \gamma=\frac12, \gamma=1, \gamma=2 \end{eqnarray*}$ :

Nun ist ja Deine Forderung, dass an einer bestimmten Stelle x=z der Wert f(x)=0,5 sein soll. Daraus ergibt sich $\begin{eqnarray*} \gamma = \frac {\ln (0,5)}{\ln z} \end{eqnarray*}$

So könntest Du Dir Deine Kurven für verschiedene z zurechtbasteln:

Ist es vielleicht das, was Du brauchst?

Viele Grüße
Steffen

15.04.2013, 22:15

Tobl

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Danke für den Vorschlag. Als Gestalter kenn ich die Gamma-Korrektur natürlich schon, allerdings hat diese das ziemlich große Problem, dass das Ergebnis davon abhängt, in welche Richtung verschoben wird,
$\begin{eqnarray*} f(x,y)\neq1-f(1-x,1-y) \end{eqnarray*}$
Für eine Kurve zum Ausbalancieren von Werten kommt das also nicht in Frage, aber trotzdem danke.

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