Zahlenfolge

26.07.2004, 18:04

Steffen

Zahlenfolge

Folgendes Problem. Ich komme irgendwie nicht zu einem Ansatz.

Frage lautet.

zeigen sie, dass die Zahlenfolge x(n+1)=1/2(xn+a/xn) konvergiert, indem sie die Beschränkung (xn>= Wurzel a) und die Monotonie (xn>= xn+1)nachweisen. Bestimmen sie anschließend den Grenzwert für n-> unendlich.

kann mir jemand helfen?

26.07.2004, 18:10

Deakandy

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RE: Zahlenfolge
Hmm wie beiwest man denn die Monotonie
du hast es doch selber hingeschrieben...nur so ne Sache des einsetzens ne

27.07.2004, 00:07

Bruce

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Die Aufgabe:

Betrachte die Zahlenfolge

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}(x_n+\frac{a}{x_n}) \quad\mathrm{mit}\quad 0<a,x_0. \end{eqnarray*}$

Zeige:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} x_n = \sqrt{a}. \end{eqnarray*}$

Lösung:

1. Schritt
Die Folge ist nach unten beschränkt!

Allgemein gilt
$\begin{eqnarray*} 0\leq(x_n-\sqrt{a})^2 \Rightarrow 2x_n\sqrt{a}<x_n^2+a \end{eqnarray*}$
Wegen
$\begin{eqnarray*} 0<x_n \end{eqnarray*}$
folgt daraus:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{a}\leq\frac{1}{2}(x_n+\frac{a}{x_n}). \end{eqnarray*}$
Die Folge ist also nach unten beschränkt.

2.Schritt
Die Folge fällt monoton!
$\begin{eqnarray*} x_{n+1}=\frac{1}{2}(x_n+\frac{a}{x_n})=x_n-\frac{x_n^2-a}{2x_n}<x_n \end{eqnarray*}$
da im 1.Schritt
$\begin{eqnarray*} \sqrt{a}<x_n \end{eqnarray*}$
gezeigt wurde. Also muß die Folge monoton fallen.

An dieser Stelle wissen wir:
Die gegebene Folge ist monoton fallend und nach unten beschränkt, also auch konvergent.

3. Schritt
Den existierenden Grenzwert x berechnen.
$\begin{eqnarray*} x=\lim_{n\to\infty}x_{n+1}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2}(x_n+\frac{a}{x_n})=\frac{1}{2}(\lim_{n\to\infty}x_n + \lim_{n\to\infty}\frac{a}{x_n}) = \frac{1}{2}(x+\frac{a}{x}) \end{eqnarray*}$
Also gilt:
$\begin{eqnarray*} x=\frac{1}{2}(x+\frac{a}{x})\Leftrightarrow2x^2=x^2+a\Leftrightarrow x^2=a \Rightarrow x=\sqrt{a}. \end{eqnarray*}$

Das wars, gute Nacht.

P.S.
Der Beweis steht so oder so ähnlich in vielen guten Analysis-Lehrbüchern.

27.07.2004, 00:50

Ben Sisko

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Hallo Bruce!

Es ist nicht Sinn und Zweck dieses Boards dem Fragesteller fertige Lösungen zu präsentieren. Es sollen Tipps und Hinweise gegeben werden, so dass der Fragesteller die Aufgabe (und dann auch ähnliche) selber lösen kann; davon hat er auf Dauer mehr.

Also frei nach dem Motto: "Hilfe zur Selbsthilfe"

Gruß vom Ben

27.07.2004, 22:23

Trazom

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Dann werde ich das mal übernehmen:

Aaalso: Eine Folge konvergiert, wenn sie beschränkt und monoton in Richtung der Schranke ist. Beides kann man häufig am einfachsten mit Induktion nachweisen.

Für den Grenzwert selbst setzt man voraus, dass für $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} x_{n} = x_{n+1} \end{eqnarray*}$

Setzt man nun für $\begin{eqnarray*} x_{n+1} \end{eqnarray*}$ den von $\begin{eqnarray*} x_{n} \end{eqnarray*}$ abhängigen Ausdruck ein, löst man nach $\begin{eqnarray*} x_{n} \end{eqnarray*}$ auf und hat die Grenze.

28.07.2004, 00:33

Ben Sisko

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Zitat:

Original von Trazom
Dann werde ich das mal übernehmen:

Was denn? Die Lösung steht doch schon da (bin sie zwar nicht im Einzelnen durchgegangen, aber sieht mir doch komplett aus).

Wenn Steffen noch Fragen dazu hat, sollten wir vielleicht warten, bis er sie stellt, bevor wir sie beantworten... :P

Gruß vom Ben

28.07.2004, 00:37

Trazom

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Ich meinte das was Du sagtest, nämlich ne Stütze zu geben. Aus der Komplettlösung kann man schlecht die Strategie erkennen, besonders für den Grenzwert.

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