Optimierungsaufgabe - Wasserversorgung

12.04.2013, 00:46

Tipso

Optimierungsaufgabe - Wasserversorgung

Hallo,

Zitat:

Ein Haus soll mit einer Wasserversorgungsstelle verbunden werden. Das Haus liegt a km
von einer geradlinigen Straße entfernt, an der sich die Wasserversorgungsstelle befindet. Der
Abstand zwischen der Versorgungsstelle und dem Haus betrage (Luftlinie) b km. Die Leitung
soll möglichst kostensparend gelegt werden. Der Leitungsmeter koste die Straße entlang s
Euro, durch das Gelände von der Straße zum Haus aber g Euro. Wie ist die Leitung zu
verlegen?
(a = 3 km, b = 5 km, s = 200 €, g = 500 €)

Vorgang:
HB + NB aufstellen.

Ich habe eine Skizze erstellt, da ich die Angabe nicht verstehe.

AB - Straße
C - Haus

HB = a*b

NB = a^2 + b^2 = c^2

(dabei ist c^2 mein b).

lg

12.04.2013, 07:22

klarsoweit

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RE: Optimierungsaufgabe - Wasserversorgung
Deine Skizze ist zwar ganz nett, hat aber mit der Aufgabe nur entfernt zu tun, solange du die dort gemachten Angaben nicht einbaust.
Also wir haben:
Abstand(DC) = a = 3km
Abstand(BC) = b = 5km (B ist die Wasserversorgungsstelle)
Damit hast du auch (Pythagoras) den Abstand(BD).

Absolut hirnlos ist deine Hauptbedingung. Die lautet bei dir "HB=a*b". Nun ist offensichtlich a*b = 3km * 5 km = 15km² . Und was soll das jetzt sein? verwirrt

Die eigentliche zu lösende Frage ist, wo auf der Strecke BD sich ein Punkt E befindet, wo die zu bauende Wasserleitung von der Straße abbiegt und schnurstracks auf das Haus C zuläuft. Um diese Frage zu beantworten mußt du die Kosten der Wasserleitung betrachten. Diese ergeben sich aus den Kosten für die Strecke BE und für die Strecke EC.
Ich empfehle, die Länge der Strecke BE mit der Variablen x zu bezeichnen. Daraus ergibt sich dann auch die Länge der Strecke EC.

12.04.2013, 12:10

Tipso

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Hi,

Zitat:

a*b = 3km * 5 km = 15km² . Und was soll das jetzt sein?

Fläche des Rechte. smile

Verständnis:

Ich fasse nochmal die Aufgabe in eigenen Worten zusammen:

Ich habe mir schon gedacht, dass es sich um ein Dreieck handeln muss.
Ich suche den billigsten (minimum) Weg um meine kabel vom Haus zur Wasserversorgung zu legen.

Preisunterschied BC - g und BE - s

Ich suche also die kürzeste Hypotenuse?

HB

NB
..??..

Rechenvorgang
Tipp

Zitat:

Ich empfehle, die Länge der Strecke BE mit der Variablen x zu bezeichnen. Daraus ergibt sich dann auch die Länge der Strecke EC.

Ich bin hier etwas unsicher.
Was ist meine HB hier?
Welche Formel?

c^2 = a^2 + b^2 verwirrt

Versuch:

f(x) = (x*200) * (EC*500)

12.04.2013, 12:44

klarsoweit

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Zitat:

Original von Tipso
Ich suche also die kürzeste Hypotenuse?

Nein. Du mußt doch nur die Aufgabe lesen: du suchst den Weg, auf dem die geringsten Kosten für die Leitung entstehen.

Zitat:

Original von Tipso
Versuch:

f(x) = (x*200) * (EC*500)

Wenn schon, dann: f(x) = (x*200) + (EC*500)
Jetzt mußt du nur noch das EC mittels der Variablen x ausdrücken. Das ist gewissermaßen dann die Nebenbedingung.

12.04.2013, 13:38

Tipso

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Zitat:

Wenn schon, dann: f(x) = (x*200) + (EC*500)
Jetzt mußt du nur noch das EC mittels der Variablen x ausdrücken. Das ist gewissermaßen dann die Nebenbedingung.

Stimmt, Tippfehler.

Nebenfrage:
Was ist dies für eine Formel. verwirrt

f(x) - es ist eine Funktion, ich wollte eigentlich einfach L - Leitung = schreiben.

Dies ist meine -HB.

NB
Etwas mit dem Pythagoras. verwirrt

12.04.2013, 13:45

klarsoweit

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In der Tat. Offensichtlich ist das Dreieck(EDC) rechtwinklig.

12.04.2013, 13:46

Tipso

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BC = (BD-a)^2 + CD^2

BD + CD + a haben wir.

Edit:
hatte es zur gleichen Zeit, als du mir den Tipp gegeben hast ediert.

12.04.2013, 14:08

klarsoweit

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Zitat:

Original von Tipso
BC = (BD-a)^2 + CD^2

Vielleicht meinst du: BC^2 = (BD - x)^2 + CD^2
Im übrigen ist BD = a. smile

12.04.2013, 14:25

Tipso

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Nochmal schöner angeschrieben.

Ich weiß nun aber nicht, was ich damit anfangen soll.

Ich setze a ein und erhalte dadurch BC?

BD = a = 3 km

CD = 5

$\begin{eqnarray*} EC^2 = (3-x)^2 + 5^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} EC = \sqrt{(3-x)^2 + 5^2} \end{eqnarray*}$

Ich setze dies nun in die HP ein.

---------------------------------------------------------

$\begin{eqnarray*} f(x) = (x*200) + (EC*500) \end{eqnarray*}$

Nebenfrage:

Was ist dies für eine Formel? Ich verstehe sie eign. nicht?

-----------------------------------------------------------------------

$\begin{eqnarray*} f(x) = (x*200) + (\sqrt{(3-x)^2 + 5^2}*500) \end{eqnarray*}$

Edit:
Lässt sich besser anschreiben:

$\begin{eqnarray*} f(x) = (x*200) + ((3-x)*500 + 5*500) \end{eqnarray*}$

Ich habe eine Gleichung mit einer Variable, diese lässt sich berechnen.

14.04.2013, 12:39

Tipso

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hallo,

update

Ich bin bei dem Punkt stecken geblieben, dass ich nicht die NB aufstellen kann.
Da ich es nicht schaffe auf x- umzuformen.

lg

15.04.2013, 07:34

klarsoweit

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Sorry, ich habe mich an dieser Stelle mit den Bezeichnungen vertan:

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von Tipso
BC = (BD-a)^2 + CD^2

Vielleicht meinst du: BC^2 = (BD - x)^2 + CD^2

Richtig muß es lauten: EC^2 = (BD - x)^2 + CD^2 mit BD = a = 3

Außerdem haben wir noch einen 2. Pythagoras: BC^2 = BD^2 + CD^2 mit BD = a = 3 und BC = b = 5.
Aus der letzten Gleichung erhältst du das CD und das eingesetzt in die 1. Gleichung eine Formel für EC. Das kannst du dann in f(x) = (x*200) + (EC*500) einsetzen.

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