Anfangswertprobleme Eindeutigkeit (lokal)

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DGLelchen Auf diesen Beitrag antworten »
Anfangswertprobleme Eindeutigkeit (lokal)
Meine Frage:
Hallo. Meine Aufgabe lautet:

Untersuchen Sie folgende Anfangswertprobleme auf Lösbarkeit und (lokale) Eindeutigkeit der Lösung und lösen Sie sie:

mit
mit
mit

Geben Sie in außerdem den maximalen Definitionsbereich der Lösung an. Wie verhält er sich für


Meine Ideen:
Wir haben es ja mit Differentialgleichungen zu tun? Dazu gibt es ja einige Lösungsmethoden: z.B. 1. Trennung der Variablen, Substitutionsmethode oder Variation der Konstanten

Bei sähe es doch so aus:





LaTeX korrigiert. Steffen

so und dann noch weiter. Und bei ginge es auch so?
Bei aber nicht mehr, wie dann?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anfangswertprobleme Eindeutigkeit (lokal)
Zitat:
Original von DGLelchen

mit
mit


b) und c) lassen sich beide mit Trennung der Variablen lösen.
DGLelchen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anfangswertprobleme Eindeutigkeit (lokal)
Bei sähe es doch so aus:





Nutze Anfangsbedingung aus.



richtig?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Die numerische Rechnung habe ich nicht nachgeprüft ( sie ist aber falsch. Es sollte ungefähr rauskommen c = -0.1), aber ansonsten ist das richtig. Du hättest aber auch einfach die rechte Seite integrieren können ohne den Ansatz mit Trennung der Variablen. Ist aber egal, da dasselbe rauskommt.
DGLelchen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von RavenOnJ
Die numerische Rechnung habe ich nicht nachgeprüft ( sie ist aber falsch. Es sollte ungefähr rauskommen c = -0.1), aber ansonsten ist das richtig.


Nicht nachgeprüft sie ist aber falsch? Okay Big Laugh und wie bekomme ich heraus? Und was mache ich dann damit?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe es halt nur überschlägig berechnet, das meinte ich mit "nicht nachgeprüft".

Zitat:
Original von DGLelchen
und wie bekomme ich heraus? Und was mache ich dann damit?


indem du rechnest, ganz einfach. Die Gleichung steht ja bereits da.
 
 
DGLelchen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anfangswertprobleme Eindeutigkeit (lokal)
Sry hast recht. Also nochmal zusammengefasst:





Nutze Anfangsbedingung aus.



Was muss ich mit dem genau machen?
DGLelchen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anfangswertprobleme Eindeutigkeit (lokal)
Wenn man es einsetzt dann bekommt man die allgemeine Lösung
für a)?

bei b) haben wir ja



Integrieren:

Anfangsbedingung ergibt:

Dann bekommen wir die allgemeine Lösung Jetzt weiß ich nicht wie man das vereinfachen könnte.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anfangswertprobleme Eindeutigkeit (lokal)
Zitat:
Original von DGLelchen

Was muss ich mit dem genau machen?


verwirrt Das c ist über die Nebenbedingung bestimmt und Teil der speziellen Lösung. Nur mit diesem c wird die Nebenbedingung y(1)=1 erfüllt.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anfangswertprobleme Eindeutigkeit (lokal)
Es heißt . Du musst die Lösung in die Form



bringen. Was muss anstelle des Fragezeichens stehen?
DGLelchen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anfangswertprobleme Eindeutigkeit (lokal)
Zitat:
Original von RavenOnJ
Es heißt . Du musst die Lösung in die Form



bringen. Was muss anstelle des Fragezeichens stehen?


Anstelle des Fragezeichen? Ja die Lösungsfunktion, die die DGL löst? Was mache ich denn falsch um das c) herauszubekommen muss man doch die Anfangsbedingung einsetzen bzw. verwenden haben wir dann ist der und Und das setzen wir doch ein? Was mache ich denn falsch?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe mich missverständlich ausgedrückt. Was du geschrieben hattest, war nicht falsch. Es ging mir nur darum, die Lösung in die Form y = ... zu bringen, da du nach Vereinfachung gefragt hattest.
DGLelchen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anfangswertprobleme Eindeutigkeit (lokal)
Jetzt bin ich neben mir.



Aber hiermit bin ich doch nicht fertig? Mir geht darum, dass ja normalerweise immer steht und das wollte ich halt noch versuchen. Oder kann man das so stehen lassen?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Eben nicht, ist aber einfach in diese Form umzuwandeln. Denk an den Logarithmus.
DGLelchen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anfangswertprobleme Eindeutigkeit (lokal)


Wenn ich den ln auf beiden Seiten anwende, dann bekomme ich?

?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, so geht's nicht.
DGLelchen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anfangswertprobleme Eindeutigkeit (lokal)
Wie denn dann mhh?

Wenn ich darauf den ln anwende ist das ja

RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

und wenn da nicht 2 steht, sondern eine Summe?
DGLelchen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anfangswertprobleme Eindeutigkeit (lokal)
Dann wohl der ln von der Summe?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Mach doch einfach, ohne immer dazwischen zu fragen.
DGLelchen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anfangswertprobleme Eindeutigkeit (lokal)
[quote]Original von DGLelchen




Der ln hebt die e-Fkt auf dann muss es doch links zu +y kommen?

RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anfangswertprobleme Eindeutigkeit (lokal)
Zitat:
Original von DGLelchen




verwirrt Was ist der Logarithmus einer negativen Zahl?
DGLelchen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anfangswertprobleme Eindeutigkeit (lokal)
Der negative LN im Argument ist nicht definiert, ich stehe gerade auf'm Schlauch. So schwer kann das doch nicht sein... traurig
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anfangswertprobleme Eindeutigkeit (lokal)
Zitat:
Original von DGLelchen
So schwer kann das doch nicht sein... traurig


Nee, wirklich nicht. Wie wäre es mit einem Multiplizieren der Gleichung mit -1 und erst dann Logarithmieren?
DGLelchen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anfangswertprobleme Eindeutigkeit (lokal)


Ok zuerst mal ergibt





Der ln hebt die e-Fkt auf dann muss es doch

sein? Das ist ja nicht definiert, also fällt es weg?
Orangina999 Auf diesen Beitrag antworten »

DGLelchen, ich schließe mich deiner Frage an... Schätze mal wir sitzen in der selben VL! Also ich habe das folgende Problem damit: ich bekommen das Lösen bzw Finden der Gleichung eigentlich ganz gut hin, aber ich weiß nicht, wie ich auf Lösbarkeit bzw eindeutige (lokale) Lösbarkeit überprüfen soll? Kann mir da vllt jemand weiterhelfen?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist



allerdings

DGLelchen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von RavenOnJ
Es ist



allerdings



Ja das sind die berüchtigten Logarithmusregeln. Nur wir haben es doch mit zu tun. Und das kann man nicht vereinfachen
DGLelchen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anfangswertprobleme Eindeutigkeit (lokal)
mit
mit
mit


Zu nochmal



(die Zeile mit dem Integralzeichen habe ich mir gespart)


Wenn wir ableiten dann bekommen wir heraus und es stimmt.

Zu




und Anfangsbedingung und damit

Und ich habe keine Ahnung wie ich das zu Ende bringen soll habe mir alle Postings und Tipps durchgelesen, aber irgendwie komme ich nicht zum Ende unglücklich

zu



und damit erhalten wir:

Und wenn wir denn darauf loslassen kriegen wir

? Kann das sein, eher nicht, weil wenn wir das ableiten erhalten wir nicht unser

Wäre super dankbar für die Korrektur.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von DGLelchen
Nur wir haben es doch mit zu tun. Und das kann man nicht vereinfachen


Du sagst es, hast aber in deinem Post davor so getan, als könnte man den Logarithmus einer Summe als Summe der Logarithmen seiner Summanden darstellen.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Du scheinst mit dem (natürlichen) Logarithmus auf Kriegsfuß zu stehen. Wie der Graph des Logarithmus ungefähr aussieht und die Rechenregeln solltest du dir unbedingt einprägen. Sie sind eminent wichtig. und sind mit die wichtigsten Funktionen. Sie tauchen immer wieder auf.

Einerseits schreibst du:

Zitat:
Original von DGLelchen
Zitat:
Original von RavenOnJ
Es ist



allerdings



Ja das sind die berüchtigten Logarithmusregeln.


andererseits ignorierst du das wieder im nächsten Posting anstatt es zu benutzen. Was ist denn

,

wenn du die Regeln anwendest?

In der b) gehst du auch wieder zwei Schritte zurück und schreibst wieder, dass du die Gleichung nicht nach y auflösen kannst. Da warst du schon mal weiter. Und wenn dabei der Logarithmus einer Summe auftaucht, dann lass den einfach so stehen, der lässt sich nun mal nicht weiter vereinfachen - wie du selber schon geschrieben hast.
DGLelchen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von RavenOnJ
Zitat:
Original von DGLelchen
Nur wir haben es doch mit zu tun. Und das kann man nicht vereinfachen


Du sagst es, hast aber in deinem Post davor so getan, als könnte man den Logarithmus einer Summe als Summe der Logarithmen seiner Summanden darstellen.


Guten Morgen. Sry vielleicht kam es so herüber, aber war nicht so gemeint.

Zitat:
Original von RavenOnJ
Du scheinst mit dem (natürlichen) Logarithmus auf Kriegsfuß zu stehen. Wie der Graph des Logarithmus ungefähr aussieht und die Rechenregeln solltest du dir unbedingt einprägen. Sie sind eminent wichtig. und sind mit die wichtigsten Funktionen. Sie tauchen immer wieder auf.

andererseits ignorierst du das wieder im nächsten Posting anstatt es zu benutzen. Was ist denn

,

wenn du die Regeln anwendest?

In der b) gehst du auch wieder zwei Schritte zurück und schreibst wieder, dass du die Gleichung nicht nach y auflösen kannst. Da warst du schon mal weiter. Und wenn dabei der Logarithmus einer Summe auftaucht, dann lass den einfach so stehen, der lässt sich nun mal nicht weiter vereinfachen - wie du selber schon geschrieben hast.




Somit bekommen wir bei doch

Haben mich in einem der vorigen Postings falsch ausgedrückt jetzt lasse ich die e-Funktion darauf los ^^



Hm?

Eine kurze Frage ist doch das gleiche wie:

Jetzt zu Problemfall

Ja bin in der Tat zwei Schritte zurückgegangen. Nur die Bestimmung des verwirrt mich. Bzw. wann ich das am Besten erledige

(jetzt mache ich's) und bekomme



(Man wendet doch den ln auf die ganze Summe an und nicht auf die einzelnen Summanden?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von DGLelchen



Hm?


Ja.

Zitat:

Eine kurze Frage ist doch das gleiche wie:

Klar doch, der Logarithmus ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion.

RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zu b):
Zitat:

Ja bin in der Tat zwei Schritte zurückgegangen. Nur die Bestimmung des verwirrt mich. Bzw. wann ich das am Besten erledige

(jetzt mache ich's) und bekomme



(Man wendet doch den ln auf die ganze Summe an und nicht auf die einzelnen Summanden?


So haut's doch hin. Wenn du dann noch schreibst


dann steht die Lösung (aufgelöst nach y) da.

An welcher Stelle du die Nebenbedingung benutzt, um c zu bestimmen, ist relativ egal. Du könntest natürlich auch zuerst nach y auflösen und danach das c bestimmen, was aber nicht sehr sinnvoll wäre, da du dann an einer Stelle wieder rückwärts gehen müsstest:





Interessant ist allerdings noch der Definitionsbereich, das Argument des Logarithmus muss positiv sein. Da musst du dir noch etwas zu überlegen.
DGLelchen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anfangswertprobleme Eindeutigkeit (lokal)
Die ursprüngliche Aufgabenstellung lautet ja: Untersuchen Sie folgende Anfangswertprobleme auf Lösbarkeit und (lokale) Eindeutigkeit der Lösung und lösen Sie sie. Haben wir das mit der Lösbarkeit und lokalen Eindeutigkeit abgehakt?

Ja bei soll man außerdem den maximalen Definitionsbereich der Lösung angeben und sagen wie er sich verhält für

geht ja gegen Null. Mhm verwirrt
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zur Lösbarkeit und Eindeutigkeit solltest du dir bei der c) auch noch mal Gedanken machen, da das durch das Auftauchen des Logarithmus im Lösungsweg nicht von vorneherein klar ist. Auch dort, muss natürlich das Argument des Logarithmus größer als Null sein. Ist das für alle x der Fall?

Zu b): Das ist der interessante Fall, . Schreib mal ganz allgemein den Definitionsbereich abhängig von auf. Was gilt für den Fall ?
DGLelchen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von RavenOnJ
Zur Lösbarkeit und Eindeutigkeit solltest du dir bei der c) auch noch mal Gedanken machen, da das durch das Auftauchen des Logarithmus im Lösungsweg nicht von vorneherein klar ist. Auch dort, muss natürlich das Argument des Logarithmus größer als Null sein. Ist das für alle x der Fall?












Für alle ist das doch der Fall, dass das Argument des Logarithmus größer Null ist wegen des

Zitat:
Original von RavenOnJ
Zu b): Das ist der interessante Fall, . Schreib mal ganz allgemein den Definitionsbereich abhängig von auf. Was gilt für den Fall ?



und






-----------------------------------------------------


Wie kommst du darauf? Wo ist das Minuszeichen hin?

Im Grunde muss ja das Argument sein.

Also:

Nur wie mache ich das?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von DGLelchen

Für alle ist das doch der Fall, dass das Argument des Logarithmus größer Null ist wegen des


Das ist richtig, bedarf aber einer Erwähnung, da es nicht von vorneherein klar ist.

[ Ein Exkurs:



Diese DGl löst man so ähnlich wie deine c), muss aber sehr aufpassen. Man muss die drei Abschnitte des Definitionsbereichs, die durch getrennt sind, gesondert betrachten. Da die Bereiche nicht zusammenhängen, gibt es drei unterschiedliche Integrationskonstanten, für jeden Bereich eine.]

Zitat:



Wie kommst du darauf? Wo ist das Minuszeichen hin?


Es ist , also


Zitat:

Im Grunde muss ja das Argument sein.

Also:

Nur wie mache ich das?


Umformen. Es gibt eine Funktion Arcuscosinus (auf wikipedia seltsamerweise Arkuskosinus), , die Umkehrfunktion des Cosinus.
DGLelchen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von RavenOnJ
Zitat:
Original von DGLelchen

Für alle ist das doch der Fall, dass das Argument des Logarithmus größer Null ist wegen des


Das ist richtig, bedarf aber einer Erwähnung, da es nicht von vorneherein klar ist.

[ Ein Exkurs:



Diese DGl löst man so ähnlich wie deine c), muss aber sehr aufpassen. Man muss die drei Abschnitte des Definitionsbereichs, die durch getrennt sind, gesondert betrachten. Da die Bereiche nicht zusammenhängen, gibt es drei unterschiedliche Integrationskonstanten, für jeden Bereich eine.


Ja nur wie schreibe ich jetzt bei meiner c) genau auf? Z.B. Es muss gelten fur alle x>0. Ist erfullt, da wir es mit x^2 zu tun haben.


Zitat:
Original von RavenOnJ
Zitat:
Original von DGLelchen

[quote]


Wie kommst du darauf? Wo ist das Minuszeichen hin?


Es ist , also


Und wieso gilt Das verstehe ich gerade nicht.

Zitat:
Original von RavenOnJ
Zitat:
Original von DGLelchen

[quote]
Im Grunde muss ja das Argument sein.

Also:

Nur wie mache ich das?


Umformen. Es gibt eine Funktion Arcuscosinus (auf wikipedia seltsamerweise Arkuskosinus), , die Umkehrfunktion des Cosinus.


Und dann mache ich auf beiden Seiten mal arccos(x)?

Dann: (Ich habe wenig Ahnung mit Ungleichungen)
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Kleiner Exkurs zu Ungleichungen: Man kann Ungleichungen wie Gleichungen umformen, mit gewissen Ausnahmen.
Ausnahmen:
A) Multiplizieren einer Ungleichung mit einer negativen Zahl kehrt das Ungleichungszeichen um. Also









B) Dividieren einer Ungleichung durch eine negative Zahl kehrt das Ungleichungszeichen um. Also









C) Kehrwert auf beiden Seiten bilden kehrt dann das Ungleichheitszeichen um, wenn beide Seiten der Ungleichung positiv oder beide negativ sind, da das nichts anderes ist, als die Ungleichung durch die linke und durch die rechte Seite zu dividieren und anschließend die Seiten zu vertauschen.





usw. für

Ist eine der Seiten positiv und die andere negativ, dann ändert sich das Ungleichheitszeichen nicht, da die Vorzeichen bei Kehrwertbildung erhalten bleiben. Also






usw. für .

Mach dir das Ganze an konkreten Beipielen klar.
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