Autonome oder zeitunabhängige Differentialgleichungen

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Alexandra Ardanex Auf diesen Beitrag antworten »
Autonome oder zeitunabhängige Differentialgleichungen
Meine Frage:
Heyy zusammen. Ich hab akute Probleme bei einer Beweisaufgabe: Unter einer autonomen oder zeitunabhängigen Differentialgleichung versteht man eine DGL der Form mit einer Funktion . Bis hier hin verstehe ich es.

Nun a) Zeigen Sie: Ist eine Lösung der Differentialgleichung , so ist für jedes die Funktion ebenfalls eine Lösung der Differentialgleichung. Gilt für alle außerdem und
, so ist auch eine Lösung dieser Differentialgleichung.

b) Bestimmen Sie mit Hilfe von a) alle Lösungen des Anfangswertproblems mit

Meine Ideen:
Zu a) habe ich leider nicht viel beizutragen. Im Grunde soll man ja zeigen, dass es auch anderwaltige Lösungen existieren. Nur wie soll man das zeigen?

Zu b) weiß ich auch nicht recht wie man es lösen soll. Im Grunde genommen kann man schreiben. Die Variablen trennen und integrieren?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Autonome oder zeitunabhängige Differentialgleichungen
Zu a):
Du sollst zeigen, dass aus die Gleichung folgt.
Bilde also mal und . Bzw. führe eine Substitution durch.
Anschließend machst du das ähnlich mit .

Zu b):
Ja, die Trennung der Veränderlichen funktioniert hier.
Fang damit mal an.
Alexandra Ardanex Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Autonome oder zeitunabhängige Differentialgleichungen
b) des Anfangswertproblems mit



Aber wie soll man das integrieren, wenn das im Nenner ist?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Autonome oder zeitunabhängige Differentialgleichungen
Zitat:
Original von Alexandra Ardanex

Was hast du denn da angestellt?
Überprüf das nochmal.
Alexandra Ardanex Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Autonome oder zeitunabhängige Differentialgleichungen


Wenn man das doch mal 1/dy rechnet bekommt man doch:


Das ist aber nicht so praktisch joa.





ist da wohl die bessere Umstellung

dann erhalten wir doch per Integration



Damit bekommen wir Richtig, oder? Und jetzt? Sind wir fertig mit b) oder?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Autonome oder zeitunabhängige Differentialgleichungen
Zitat:
Original von Alexandra Ardanex


Wenn man das doch mal 1/dy rechnet bekommt man doch:

Und würde man aus

nach Multiplikation mit auch erhalten?

Zitat:


ist da wohl die bessere Umstellung

Die erste Gleichung stimmt noch.

Zitat:


Damit bekommen wir Richtig, oder? Und jetzt? Sind wir fertig mit b) oder?

stimmt zwar, allerdings musst du das Vorzeichen beachten.
Überhaupt sollst du die allgemeine Lösung angeben.
 
 
Alexandra Ardanex Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Autonome oder zeitunabhängige Differentialgleichungen
Zitat:
Original von Che Netzer

Zitat:


ist da wohl die bessere Umstellung

Die erste Gleichung stimmt noch


Ja ich meinte auch
Zitat:
Original von Che Netzer

Zitat:


Damit bekommen wir Richtig, oder? Und jetzt? Sind wir fertig mit b) oder?

stimmt zwar, allerdings musst du das Vorzeichen beachten.
Überhaupt sollst du die allgemeine Lösung angeben.


Ja das Vorzeichen muss man beachten, da die Betragsstriche unter der Wurzel vorhanden sind. Die allgemeine Lösung lautet dann wie? Man muss es ja nach y auflösen und c=0 einsetzen? Oder darf man auch einfach

schreiben?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Autonome oder zeitunabhängige Differentialgleichungen
Dann überleg dir mal, ob stimmen kann – z.B. für .
Stattdessen kannst du folgern.

Du kannst dir auch überlegen, dass wahlweise für negatives oder für positives Null sein kann.

Am besten: Nimm und an. Du erhältst dann wie berechnet für positives .
Jetzt benutzt du die vorige Aufgabe, um eine Funktionsgleichung für negatives zu finden.
Damit hast du eine Lösung.
Eine weitere erhältst du, indem du stattdessen mit Null fortsetzt.
Eine dritte, indem du für positives Null sein lässt, aber nicht für negatives.
Allgemeinere Lösungen erhältst du daraus mit dem vorigen Aufgabenteil.

Und die letzte ist schließlich die Nulllösung...
Versuch daraus mal, die verschiedenen Lösungen zu ermitteln.
Alexandra Ardanex Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Autonome oder zeitunabhängige Differentialgleichungen
Zitat:
Original von Che Netzer
Dann überleg dir mal, ob stimmen kann – z.B. für .
Stattdessen kannst du folgern.

Wieso ? Wenn man beide Seiten quadriert dann bekommen wir doch:
Eine DGL (erster Ordnung) beschreibt doch eine Beziehung zwischen einer Funktion y(x) und ihrer Ableitung y'(x) an der Stelle x.

Ich nehme jetzt, dass du mich darauf hinweisen willst, da es Betrag ist das man unterscheiden muss zwischen positivem y bzw. negativem? Aber durch den Betrag spielt das doch keiner Rolle. Ferner wenn wir dies umstellen erst recht nicht?

Zitat:
Original von Che Netzer
Du kannst dir auch überlegen, dass wahlweise für negatives oder für positives Null sein kann.

Am besten: Nimm und an. Du erhältst dann wie berechnet für positives .
Jetzt benutzt du die vorige Aufgabe, um eine Funktionsgleichung für negatives zu finden.
Damit hast du eine Lösung.
Eine weitere erhältst du, indem du stattdessen mit Null fortsetzt.
Eine dritte, indem du für positives Null sein lässt, aber nicht für negatives.
Allgemeinere Lösungen erhältst du daraus mit dem vorigen Aufgabenteil.

Und die letzte ist schließlich die Nulllösung...
Versuch daraus mal, die verschiedenen Lösungen zu ermitteln.


Das ist jetzt zu viel, da blicke ich nicht hinter bzw. sehen den roten Faden nicht.
Alexandra Ardanex Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Autonome oder zeitunabhängige Differentialgleichungen
Hilfe Gott ich sitze noch daran unglücklich
Alexandra Ardanex Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Autonome oder zeitunabhängige Differentialgleichungen
b) Bestimmen Sie mit Hilfe von a) alle Lösungen des Anfangswertproblems mit





ist da wohl die bessere Umstellung

dann erhalten wir doch per Integration



Wie beende ich bzw. komme ich zu allen Lösungen? Stimmt ?
Alexandra Ardanex Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Autonome oder zeitunabhängige Differentialgleichungen
Zitat:
Original von Che Netzer
Dann überleg dir mal, ob stimmen kann – z.B. für .
Stattdessen kannst du folgern.

Du kannst dir auch überlegen, dass wahlweise für negatives oder für positives Null sein kann.

Am besten: Nimm und an. Du erhältst dann wie berechnet für positives .
Jetzt benutzt du die vorige Aufgabe, um eine Funktionsgleichung für negatives zu finden.
Damit hast du eine Lösung.
Eine weitere erhältst du, indem du stattdessen mit Null fortsetzt.
Eine dritte, indem du für positives Null sein lässt, aber nicht für negatives.
Allgemeinere Lösungen erhältst du daraus mit dem vorigen Aufgabenteil.

Und die letzte ist schließlich die Nulllösung...
Versuch daraus mal, die verschiedenen Lösungen zu ermitteln.


Das ist irgendwie sehr detailiert? Muss ich echt alle Fälle einzeln betrachten?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Autonome oder zeitunabhängige Differentialgleichungen
Es müssen immer alle Fälle betrachtet werden, sonst fehlt ja etwas.

Ansonsten warte ich ja noch darauf, dass du eine Gleichung für findest.
(Und ob dir mein Fehler auffiele, statt zu schreiben)

Wen du annimmst, ist mit der bisherigen Rechnung alles in Ordnung; du erhältst . Dann musst du aber aufpassen, dass die Steigung auch wirklich ist – also insbesondere nicht negativ.
Alexandra Ardanex Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Autonome oder zeitunabhängige Differentialgleichungen
Zitat:
Original von Che Netzer
Es müssen immer alle Fälle betrachtet werden, sonst fehlt ja etwas.

Ansonsten warte ich ja noch darauf, dass du eine Gleichung für findest.
(Und ob dir mein Fehler auffiele, statt zu schreiben)

Wen du annimmst, ist mit der bisherigen Rechnung alles in Ordnung; du erhältst . Dann musst du aber aufpassen, dass die Steigung auch wirklich ist – also insbesondere nicht negativ.


Ja dein Fehler ist mir aufgefallen. Pu also was ist nochmal alles zu tun...

Bei Bestimmen Sie mit Hilfe von a) alle Lösungen des Anfangswertproblems mit

Wie kommst du auf ?


Zitat:
Original von Che Netzer
Zu a):
Du sollst zeigen, dass aus die Gleichung folgt.


Zeigen Sie: Ist eine Lösung der Differentialgleichung , so ist für jedes die Funktion ebenfalls eine Lösung der Differentialgleichung. Gilt für alle außerdem und
, so ist auch eine Lösung dieser Differentialgleichung.

Ich weiß nicht wie ich das machen soll verwirrt Wie soll ich das bilden.

Zitat:
Original von Che Netzer
Zu a):
Bilde also mal und . Bzw. führe eine Substitution durch.
Anschließend machst du das ähnlich mit .


Wie soll ich das denn bilden? Kein Schimmer. Ich verzweifle immer wenn sich hinter diesen Zeichen nichts verbirgt und man nicht weiß was man mit denen machen soll..
Alexandra Ardanex Auf diesen Beitrag antworten »

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