reguläre Matrix mit Eigenwerten

12.04.2013, 14:17

mathe_maed'l

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reguläre Matrix mit Eigenwerten

Meine Frage:
Hallo.

Das ist die letzte Aufgabe, die ich zu lösen habe. Aber ausgerechnet bei ihr, stecke ich gerade in der Sackgasse, obwohl sie bestimmt nicht schwer ist. Wäre schön wenn mir jemand helfen könnte.

Sei A eine reguläre Matrix mit Eigenwerten $\begin{eqnarray*} \lambda_1,...,\lambda_r \end{eqnarray*}$ . Bestimme die Eigenwerte von $\begin{eqnarray*} A^{-1} \end{eqnarray*}$ . Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Eigenräumen von A und denen von $\begin{eqnarray*} A^{-1} \end{eqnarray*}$ ?

Meine Ideen:
A und $\begin{eqnarray*} A^{-1} \end{eqnarray*}$ besitzen die selben Eigenwerte.
Bedeutet: Wenn $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ Eigenwert von A ist, dann ist 1/ $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ der Eigenwert von $\begin{eqnarray*} A^{-1} \end{eqnarray*}$ .

Aber wie jetzt weiter?

12.04.2013, 14:26

nixchecker1234

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RE: reguläre Matrix mit Eigenwerten

Zitat:

Original von mathe_maed'l

A und $\begin{eqnarray*} A^{-1} \end{eqnarray*}$ besitzen die selben Eigenwerte.
Bedeutet: Wenn $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ Eigenwert von A ist, dann ist 1/ $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ der Eigenwert von $\begin{eqnarray*} A^{-1} \end{eqnarray*}$ .

Aber wie jetzt weiter?

Du sagst einerseits, dass A und A^-1 die selben Eigenwerte haben...aber andererseits sagst du, dass die Eigenwerte invers zueinander sind?

Beginne so: Sei Lambda Eigenwert zum Eigenvektor v von A, dann gilt....

12.04.2013, 14:34

mathe_maed'l

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RE: reguläre Matrix mit Eigenwerten
$\begin{eqnarray*} Av=\lambda x \end{eqnarray*}$ , dann ist x ungleich 0.

12.04.2013, 14:50

nixchecker213

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Dann form die Gleichung mal um, wir wissen es ex. A^-1 und wir wissen, dass lambda =/= 0 ist

12.04.2013, 14:57

mathe_maed'l

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Wenn ich das nach v mache komme ich auf:
$\begin{eqnarray*} v=\lambda x A^{-1} \end{eqnarray*}$ .

Oder?

12.04.2013, 15:00

nixchecker213

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Ja, jetzt fehlt dir aber noch ein Schritt.

Wir hätten gerne wieder eine Gleichung der Form:

Matrix*Vektor=Eigenwert*Vektor , damit wir Eigenwert und Eigenvektor direkt ablesen können

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12.04.2013, 15:07

mathe_maed'l

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$\begin{eqnarray*} v\lambda^{-1}=xA^{-1} \end{eqnarray*}$

So?

12.04.2013, 15:10

nixchecker213

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Ja.

Und in welchem Zusammenhang stehen nun die Eigenwerte und Eigenvektoren von A^-1 und A?

12.04.2013, 15:29

mathe_maed'l

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Die Eigenvektoren sind die selben und die Eigenwerte ... da bin ich mir nicht sicher. Ich würde ja sagen, die Eigenwerte bei $\begin{eqnarray*} A^{-1} \end{eqnarray*}$ sind die Eigenwerte hoch -1 von A ... (Damit hätten beide gleichviele Eigenwerte.)

12.04.2013, 15:35

nixchecker213

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Ja, also , wenn $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ Eigenwert von A ist , dann ist $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ^-1 Eigenwert von A^-1.

Natürlich nur, wenn A invertierbar ist...aber, wenn A nicht invertierbar wäre, wäre 0 Ein Eigenwert von A, was ja dann Probleme geben könnte...

Wie siehts denn nun mit den Eigenräumen aus?

12.04.2013, 15:43

mathe_maed'l

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Das war's schon zu dem ersten Teil? Ok.

Ich würde sagen, die sind nicht gleich, schon allein weil die Matrizen und Eigenwerte unterschiedlich sind ... aber so richtig was anfangen kann ich damit nicht.

12.04.2013, 15:46

nixchecker213

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Was sind denn Eigenräume definiert?

12.04.2013, 16:01

mathe_maed'l

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Also wir haben das so definiert:
Sei $\begin{eqnarray*} \lambda \in K \end{eqnarray*}$ ein Eigenwert von f. Dann heißt $\begin{eqnarray*} V( \lambda f) \end{eqnarray*}$ :={ $\begin{eqnarray*} x \in V / f(x)=\lambda x \end{eqnarray*}$ } der Eigenraum von f zum Eigenwert $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ .

Und ich denke, dass man das jetzt auf A bzw. A^-1 übertragen muss. Also statt f dann A bzw. A^-1 und dann die Eigenwerte auch dementsprechend.

12.04.2013, 16:11

nixchecker213

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Genau,

ein Eigenraum zu einem Eigenwert ist die Menge aller (Eigen-)Vektoren exkl. 0 (Achtung: 0 ist kein Eigenvektor, aber Element des Eigenraumes), die die von dir genannte Gleichung erfüllen.

Du selbst hast doch schon festgestellt, wie die Eigenvektoren von A und A^-1 zusammenhängen..wie siehts dem zu folge mit den Eigenräumen aus?

12.04.2013, 16:13

mathe_maed'l

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Dann müssen die Räume auch zusammenhängen.

12.04.2013, 21:01

RavenOnJ

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Zitat:

Original von mathe_maed'l
$\begin{eqnarray*} v=\lambda x A^{-1} \end{eqnarray*}$ .

Was soll eigentlich dieses x? Auch wenn das eigentlich v heißen soll, dann ist die Matrix trotzdem von der falschen Seite ranmultipliziert worden.

13.04.2013, 08:21

mathe_maed'l

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Ich versteh' nicht warum das v sein soll und warum das von der falschen Seite ranmultipliziert sein soll.
Was meinst du damit?

13.04.2013, 10:56

RavenOnJ

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Es gehört zur definierenden Eigenschaft von Eigenvektoren und Eigenwerten, dass für diese gilt:

$\begin{eqnarray*} Av=\lambda v \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{align*} \lambda \end{align*}$ ein Eigenwert und $\begin{align*} v \end{align*}$ ein Eigenvektor ist.

Matrixmultiplikation ist nicht kommutativ, deswegen ist $\begin{eqnarray*} A\cdot B\not= B\cdot A \end{eqnarray*}$ . Deshalb muss man bei einer Multplikation so einer Gleichung mit einer Matrix darauf achten, ob man von links oder von rechts multipliziert. Multipliziert man auf der einen Seite von links, dann muss man dies auch auf der anderen Seite tun. In deinem Fall hieß die ursprüngliche Gleichung

$\begin{eqnarray*} Av=\lambda v \end{eqnarray*}$

Multipliziert man diese auf der linken Seite von links mit $\begin{eqnarray*} A^{-1} \end{eqnarray*}$ , dann muss man dies auch auf der rechten Seite von links machen. Also:

$\begin{eqnarray*} v = A^{-1}Av=\lambda A^{-1}v\not=\lambda v A^{-1} \end{eqnarray*}$

13.04.2013, 11:20

mathe_maed'l

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Ok, aber die Lösung, müsste ja trotzdem stimmen. Oder?

13.04.2013, 11:33

RavenOnJ

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Ich habe nicht gesagt, dass die Lösung für die Eigenwerte der inversen Matrix nicht stimmt. Du kannst aber prinzipiell nicht aus einer falschen Voraussetzung eine richtige Schlussfolgerung ziehen.

Natürlich folgt

$\begin{eqnarray*} v = A^{-1}Av = \lambda A^{-1}v\Longrightarrow \lambda^{-1} v = A^{-1}v \end{eqnarray*}$

d.h. $\begin{eqnarray*} \lambda^{-1} \end{eqnarray*}$ ist Eigenwert von $\begin{eqnarray*} A^{-1} \end{eqnarray*}$ für denselben Eigenvektor.

13.04.2013, 11:58

mathe_maed'l

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Ok.
Danke für den Hinweis.

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