Usual Conditions

12.04.2013, 17:59	speedyschmidt	Auf diesen Beitrag antworten »
Usual Conditions Hallo , wenn ich eine rechtsstetige Filtration $\begin{eqnarray} (\mathcal F_t)_{t\in [0,T]} \end{eqnarray}$ habe und diese mit den Nullmengen $\begin{eqnarray} \mathcal N \end{eqnarray}$ eines Maßes augmentiere $\begin{eqnarray} A_t:=\sigma(\mathcal F_t\cup \mathcal N) \end{eqnarray}$ ist dann die augmentierte Filtration wieder rechtsstetig? Meine Idee: anschaulich würde ich sagen ja, aber dazu müsste ich $\begin{eqnarray} \mathcal F_t \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ einzeln schneiden dürfen. Bzw Schnitt und Sigma-Operator vertauschen dürfen, was normalerweise leider nicht gilt. Und umgekehrt: Wenn ich eine vollständige Filtration habe und diese rechtsstetig machen will $\begin{eqnarray} R_t:=\bigcap_{s>t}\mathcal F_{s} \end{eqnarray}$ ist diese dann wieder vollständig? Meine Idee: ähnlich wie oben, Beweis fehlt mir aber. Vielen Dank
13.04.2013, 12:35	speedyschmidt	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, die zweite Frage war sinnlos. Jede Nullmenge liegt ja in allen $\begin{eqnarray} \mathcal F_s \end{eqnarray}$ , also auch im Schnitt dieser Sigmaalgebren. Nun hat sich auch die erste Frage erübrigt: In der Vervollständigung $\begin{eqnarray} A_t \end{eqnarray}$ kann man ja jede Menge als $\begin{eqnarray} F\cup N \end{eqnarray}$ , mit $\begin{eqnarray} F\in F_t \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} N\in \mathcal N \end{eqnarray}$ darstellen. Und dann kann man zum Beispiel über alle rationalen Zahlen schneiden.

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