Kurvendiskussionen - Nullstellen, Extremp.

12.04.2013, 18:39

Tipso

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Kurvendiskussionen - Nullstellen, Extremp.

Hallo,

Aufgabe:

Machen sie sich ein Bild
berechnen sie Nullstellen, Extremp., Wendepunkte.

$\begin{eqnarray*} y(x) = \frac{x^3}{2} - \frac{x^2}{2} -2x + 2 \end{eqnarray*}$
a.
Nullstellen

Ich habe hier zwei Probleme.
Mein Polin. besteht aus einem Bruch.
Ich habe eine konstante (4) mitungerader Hochzahl (3).

hier kann ich also nicht die PQ-Formel einsetzen.

Lösungsvorschlag a.
Ich nehme den Teiler von 4 und suche eine Nullstelle.
Problem:
Ich könnte eine falsche Nullstelle erhalten. (Verstehe ich nicht ganz).

b.
Ich rechne mit der Wertetabelle solange bis ich eine Nullstelle erhalte.
Daraufhin dividiere ich meine Gleichung durch diese.

lg

12.04.2013, 18:46

Equester

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Wo siehst du hier ne 4 verwirrt

verwirrt

?
Ich seh da ne 2.

Wenn du ne ganzzahlige Nullstelle hast, muss diese auch ein Teiler des Absolutglieds sein.
Du brauchst also nicht mehr als -2,-1,1 und 2 auf Tauglichkeit zu untersuchen Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

12.04.2013, 18:48

Gast11022013

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Zitat:

Ich habe eine konstante (4) mitungerader Hochzahl (3).

Das verstehe ich nicht ganz. Du sprichst hier vermutlich dann über diese Form, nach multiplikation mit 2:

$\begin{eqnarray*} x^3-x^2-4x+4=0 \end{eqnarray*}$

oder wie ist das zu verstehen?

smile

smile

Ansonsten musst du hier eine Polynomdivision machen, ja.

Deine Varianten a) und b) sind dabei eigentlich identisch. Erst eine Nullstelle raten.

Edit: Bin weg. Wink

Wink

12.04.2013, 20:26

Tipso

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Zitat:

Original von Equester
Wo siehst du hier ne 4 verwirrt

verwirrt

?
Ich seh da ne 2.

Tut mir leid, ich habe hier nicht angegeben, dass ich dies auf meinem Zettel mit 2 multipliziert habe.

@Gmasterflash

Freude

Freude

-------------------------------------------------------------------------------------------------

Zitat:

Wenn du ne ganzzahlige Nullstelle hast, muss diese auch ein Teiler des Absolutglieds sein.
Du brauchst also nicht mehr als -2,-1,1 und 2 auf Tauglichkeit zu untersuchen

Hier gibt es beim Raten doch das Problem, das ich nicht weiß woraus die Nullstellen bestehen, sie ergeben insgesamt 4.

1*1*4 = 4
1*2*2 = 4
-1*-2*2= 4

etc.
verwirrt

verwirrt

.....................................................................................................................................

12.04.2013, 20:47

Gast11022013

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Ich verstehe nicht, was du mit deiner Rechnung bezwecken, oder verdeutlichen möchtest.

Du musst, um eine brauchbare Nullstelle zu finden, die Teiler des Absolutgliedes prüfen. Das ist ja soweit bekannt.

Das heißt du setzt jetzt einfach nach einander diese Teiler ein.
Wenn deine Funktion für eine dieser Werte gleich Null ist, dann hast du deinen Teiler für die Polynomdivison gefunden.

Danach reduziert sich der Grad und du kannst andere Lösungsmethoden anwenden.

12.04.2013, 21:00

Tipso

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Ich versuche verständlicher zu werden:

Warum ich nicht einfach weiter versuche mit dem Teiler bis ich alle Lösungen gefunden habe.

Ob es einen Unterschied macht ob ich den Horner verwende oder eine Polynomdivison .

lg

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12.04.2013, 21:13

Gast11022013

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Leider bin ich mit dem Horner-Schema nicht vertraut.
Normalerweise dürfte es keinen Unterschied dabei geben. Beides sollte zum Ziel führen.

Wenn du eine Polynomdivision machst, dann reduzierst du den Grad der Gleichung und kannst danach die pq-Formel anwenden.

12.04.2013, 21:17

Tipso

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Ich habe es mit dem Horner gerechnet und erhalte als Nullstellen:

N_1(2/0), N_2(2/0), N_3(-1/0)

12.04.2013, 21:18

Gast11022013

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Ich glaube du hast bei einer Nullstelle ein Vorzeichen vergessen. Dann sollte es stimmen.
smile

smile

12.04.2013, 21:25

Tipso

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Zitat:

Original von Tipso
Ich habe es mit dem Horner gerechnet und erhalte als Nullstellen:

N_1(2/0), N_2(-2/0), N_3(1/0)

Sie waren vertauscht, war ein Rechenfehler in der PQ-Formel.
Woher weiß ich, dass ich keine Nullstellen vergessen habe verwirrt

verwirrt

beim Horner)?
Ob meine Nullstellen stimmen - setze sie in die erste Gleichung(Anfangsgleichung) ein.

lg

12.04.2013, 21:31

Gast11022013

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Eine ganzrationale Funktion 3. Grades kann maximal drei Nullstellen haben.
Also kannst du schon mal keine vergessen haben.

Das du alle hast, sollten dir deine Rechnungen bestätigen. Denen musst du natürlich vertrauen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

12.04.2013, 21:44

Tipso

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Ich meinte nur, ob ich mit dem Horner die Gefahr eingehe, dass ich welche vergesse?
Ob die Pol.division dem Horner überlegen ist?

----------------------------------------------------------

Dann mache ich die Aufgabe schnell fertig damit sich heute noch einer Optimierungsaufgabe ausgeht. smile

smile

Extremp.:

1 - Ableitung 0 setzen.

$\begin{eqnarray*} y(x) = x^3-x^2-4x+4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y(x)` = 3x^2-2x-4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y(x)`` = 6x-2 \end{eqnarray*}$
----------------------------------------------

Hier habe ich die Auswahl zwischen Pq oder Abc-Formel.

Wenn ich die PQ-Formel verwenden will, muss ich zuvor um 3 dividieren.

$\begin{eqnarray*} y(x)` = x^2-\frac{2}{3} x-\frac{4}{3} \end{eqnarray*}$

E_1 = 1,589

E_2 = 0,375

----------------------------------------------------------------------

Wenn ich soweit richtig liege, folgt jetzt der Wp und die Frage um was für Extremp. es sich bei meinem Extremp. den überhaupt handelt?

lg

12.04.2013, 21:55

Gast11022013

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Wie gesagt habe ich mit dem Horner-Schema selber nie Kontakt gehabt und damit gerechnet, weshalb ich da keine Aussage treffen kann.

Ich würde mal stumpf behaupten Horner-Schema und Polynomdivision sind gleichwertig.

Die Gefahr eingehen ob man Nullstellen vergisst, wenn man eine Polynomdivision macht ist eigentlich eher gering, weil man nach der Polynomdivison meistens einfach mit der pq-Formel weiterrechnen kann.
Niemand bestimmt die Nullstellen einer Funktion indem er solange die Polynomdivision mit geratenen Nullstellen macht, bis es nicht mehr geht. Das ist auch viel zeitaufwendiger.

Zu deinen Berechnungen der Extremwerte:

Hier musst du aufpassen, den du untersuchst nicht die "original" Funktion auf Extremwerte, sondern die um 2 gestreckte Funktion.

Du hättest eigentlich schreiben müsse:

$\begin{eqnarray*} 2y(x)=x^3-x^2-4x+4 \end{eqnarray*}$

Deine Extremstellen scheinen nicht zu passen. Und auch würdest du den doppelten y-Wert für diese erhalten, weil du eben nicht die original Funktion untersuchst.

Es scheint also auch ein Fehler bei der Anwendung der pq-Formel zu geben.

Danach würdest du auf Wendestellen prüfen und gucken welcher Extrempunkt nun Hoch- oder Tiefpunkt ist. Das ist korrekt. Freude

Freude

12.04.2013, 22:13

Tipso

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Bei der Nullstelle war es ja egal ob ich meine Funktion strecke oder nicht.

Ein Problem wird sich ergeben, wenn ich die Extremp. berechnen will.
Um die Pq-Formel einsetzen zu dürfen muss ich diese strecken, in diesem Fall muss ich meine Ergebnisse durch den gestreckten Betrag dividieren?

Gibt es den eine Möglichkeit zu kontrollieren ob meine Extremp. richtig sind oder nicht, ohne das richtige Ergebnis zu kennen?

Bei den Nullstellen muss ich dafür 0 erhalten.
hier müsste die Ableitung 0 ergeben, sofern meine Ableitung richtig ist.
bzw. meine Ergebnisse /2 müssten 0 ergeben.

b.
Ich habe meinen Fehler gefunden.

E_1 = 1,535
E_2 = - 0,868

Beide Ergebnisse stimmen, ich muss diese aber mit 2 multiplizieren.

------------------------------------------------------------------------------------------

$\begin{eqnarray*} 2y(x)`` = 6x-2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2y(1,535)`` = 6x-2 = 7,2 = T \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2y(- 0,868)`` = 6x-2 = - 7,2 = H \end{eqnarray*}$

-------------------------------------------------------------------------------------------

$\begin{eqnarray*} 2y(x)`` = 6x-2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = \frac{2}{6} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} W_1 = \frac{2}{6} \end{eqnarray*}$

---------------------------------------------------------------------------------------------

Wenn es richtig ist, tipps + tricks?

lg

12.04.2013, 22:27

Gast11022013

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Wieso musst du die x-Werte der Extrempunkte noch mit 2 multiplizieren? Wie kommst du darauf?

Zitat:

Bei der Nullstelle war es ja egal ob ich meine Funktion strecke oder nicht.

Das ist so nicht ganz richtig. Zur Nullstellen Berechnungen löst du die Gleichung:

$\begin{eqnarray*} 0.5x^3-0.5x^2-2x+2=0 \end{eqnarray*}$

Ob du diese Gleichung mit 2 multiplizierst oder nicht ist egal.

Du hast die Hoch und Tiefpunkte richtig bestimmt, nur die y-Werte dieser fehlen noch.

Dein x-Wert für den Wendepunkt stimmt auch. Hier kannst du noch kürzen.

12.04.2013, 22:49

Tipso

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Zitat:

Wieso musst du die x-Werte der Extrempunkte noch mit 2 multiplizieren? Wie kommst du darauf?

Weil ich mit 2 dividiert habe.

-----------------------------------------

Zitat:

Ob du diese Gleichung mit 2 multiplizierst oder nicht ist egal.

Wäre es nicht auch egal, wenn ich diese mit 3 oder 4 Multipliziere bzw. durch 0,5 dividiere?
Ich verstehe hier irgendwie den Sinn nicht.

------------------------------------------

$\begin{eqnarray*} W_1 = \left(\frac{1}{3} |2,593\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E_1 = ( 1,535|-0,879) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E_2 = (- 0,868| 6,065 \end{eqnarray*}$

13.04.2013, 01:18

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst die errechneten x-Werte lediglich in die Funktionsgleichung einsetzen um den zugehörigen y-Wert zu erhalten.

Demnach sind alle deine y-Werte zu halbieren, dann sollten sie passen.

Zitat:

Wäre es nicht auch egal, wenn ich diese mit 3 oder 4 Multipliziere bzw. durch 0,5 dividiere?
Ich verstehe hier irgendwie den Sinn nicht.

Ja ist es, da multiplizieren eine äquivalente Umformung ist. Du musst aber dabei zwischen einer Gleichung

$\begin{eqnarray*} 0.5x^3-0.5x^2-2x+2=0 \end{eqnarray*}$

und der Funktion

$\begin{eqnarray*} y(x)=0.5x^3-0.5x^2-2x+2 \end{eqnarray*}$

wenn du obiges mit 2 multiplizierst, dann ist es egal, weil alles mal Null auch Null bleibt.
Wenn du jedoch die Funktionsgleichung mit 2 multiplizierst, dann fällt diese 2 eben nicht weg und wir hätten

$\begin{eqnarray*} 2y(x)=x^3-x^2-4x+4 \end{eqnarray*}$

Und diese 2 hast du oben vergessen.

13.04.2013, 02:20

Tipso

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Zitat:

Demnach sind alle deine y-Werte zu halbieren, dann sollten sie passen.

Warum sind diese zu halbieren?
Ich muss meine x-Werte doch auch nicht halbieren. verwirrt

verwirrt

Ps.
Ich bin in 15 min offline, g8.

13.04.2013, 14:41

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast scheinbar deine x-Werte in diese Gleichung eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} y(x)=x^3-x^2-4x+4 \end{eqnarray*}$

welche aus schon genannten Gründen nicht korrekt ist.
Sie müsste eigentlich

$\begin{eqnarray*} 2y(x)=x^3-x^2-4x+4 \end{eqnarray*}$

lauten.

Wenn du nun einen Wert einsetzt, wie zum Beispiel die 2, dann hast du

$\begin{eqnarray*} 2y(\tfrac13)=\frac{70}{27} \end{eqnarray*}$

jetzt ist aber noch mit 2 zu dividieren, da wir ja wissen wollen, was $\begin{eqnarray*} y(\tfrac13) \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} 2y(\tfrac13) \end{eqnarray*}$ ist.

$\begin{eqnarray*} y(\tfrac13)\approx 1,30 \end{eqnarray*}$

und das ist ungefähr dein y-Wert durch 2 geteilt.

13.04.2013, 14:49

Tipso

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Soweit habe ich es verstanden. Freude

Freude

Was mich hier noch wundert ist, dass es bei der Berechnung der Wendep. und Extremp. eine Rolle spielt aber nicht bei den Nullstellen.
Dort muss ich mein Ergebnis nicht durch 0 dividieren, es würde auch wenig Sinn ergeben, dies zu tun.
Wenn ich aber einen y-Wert ungleich 0 erhalte, dann müsste ich es wohl tun um den richtigen y-Wert zu erhalten.

Dennoch bin ich auch bei Extremp. und Wendep. berechnungen gezwungen meine Gleichung zu ändern.

Bsp.
*2 oder /2 oder auch das Vorzeichen ändern um die PQ-Formel einzusetzen.
In diesen Fällen muss ich mein Ergebnis auch wieder zurückrechnen?

lg

13.04.2013, 14:57

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Durch Null dividieren ist ja auch immer so eine Sache. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zur Erinnerung, ich beziehe mich hier gerade darauf:

Zitat:

Original von Tipso

Extremp.:

1 - Ableitung 0 setzen.

$\begin{eqnarray*} y(x) = x^3-x^2-4x+4 \end{eqnarray*}$

Deine Funktion lautet aber

$\begin{eqnarray*} y(x)=0.5x^3-0.5x^2-2x+2 \end{eqnarray*}$

Du hast also oben einfach mit 2 multlipliziert. Multiplizieren ist jedoch eine äquivalente Umformung und muss auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens durchgeführt werden.
Da liegt der Fehler.

Und das hat erstmal nur Auswirkungen auf deine y-Werte.

13.04.2013, 15:22

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

Freude

Danke für den Tipp.
Werde ich mir merken, wäre ich auf jeden Fall darauf hereingefallen.

lg

13.04.2013, 16:27

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Im Prinzip hast du dir diese Grube selbst gegraben, in die du hereingefallen bist.

13.04.2013, 16:38

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hätte demnach mit der ABC-Formel fortfahren müssen um dies zu vermeiden. verwirrt

verwirrt

13.04.2013, 16:49

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Der Fehler liegt darin, dass du deine Ausgangsfunktion veränderst. Lasse sie wie sie ist, dann entstehen solche Fehler nicht.

Umformen kannst du dann wenn du anfängst die Extreme, Nullstellen oder Wendepunkte zu berechnen, vorher ist das überhaupt nicht nötig.

13.04.2013, 17:02

Tipso

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Extremp.

$\begin{eqnarray*} y(x)=0.5x^3-0.5x^2-2x+2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y(x)`=1,5x^2-x-2 \end{eqnarray*}$

Jetzt dividiere ich durch 1,5.

Das erhaltene Ergebnis muss ich nicht dividieren oder multiplizieren.
Ich glaube, jetzt verstehe ich auch warum. Freude

Freude

$\begin{eqnarray*} 1,5x^2-x-2 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0.5x^3-0.5x^2-2x+2 = y(x) \end{eqnarray*}$

lg

13.04.2013, 17:11

Gast11022013

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Okay, hast du dann sonst noch eine Frage?

smile

smile

13.04.2013, 17:14

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Hilfe. Freude

Freude

Bei dieser Aufgabe habe ich keine weiteren Fragen mehr. Freude

Freude

13.04.2013, 17:15

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Gern geschehen.

Wink

Wink

13.04.2013, 18:14

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

Wink

Bis vll. zum nächsten Mal. Freude

Freude

13.04.2013, 19:53

Tipso

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Jetzt fällt mir doch eine Frage ein.

Ich habe dazu auch nicht viel im Internet gefunden.

Normalerweise setze ich meine Extremwerte daraufhin in die zweite Ableitung um herauszufinden ob es sich um H oder T-Punkte handelt.
Analog gehe ich bei Wp mit der 3 Ableitung vor.

Was mache ich aber wenn ich als dritte Ableitung = 0 habe oder eben zweite Ableitung = 0 oder zweite Ableitung = 8.
Ich habe keine Variable, in die ich meinen Extremp. bzw. Wp einsetzen kann. verwirrt

verwirrt

verwirrt

13.04.2013, 20:02

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Die dritte Ableitung muss für einen Wendepunkt ungleich Null sein, sonst haben wir keinen Wendepunkt.

Ist die zweite Ableitung für einen Extrempunkt weder größer noch kleiner Null sondern genau gleich Null, so können wir keine Aussage treffen ob es ein Hoch- oder Tiefpunkt ist.

In solchen Fällen handelt es sich meistens um einen sog. Sattelpunkt.
Ein Sattelpunkt ist eine spezielle Form des Wendepunktes, da hier die Steigung Null ist.

13.04.2013, 20:14

Tipso

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Beispiel um es zu verdeutlichen.

Extrmp. = 2, -1

y' = 0

Ich habe überhaupt keine Steigung, meine kurve ist eine Gerade, die in der x-Achse liegt.

y'' = 7

??
y''(x) = 7
Es ist hier egal was ich einsetze, ich erhalte immer 7.

y''(x) = 7 + 0x

Ich will aber herausfinden, ob ich nun einen H oder T-Punkt habe.

y'' = 0

Meine Extrem. stimmen demnach nicht.

y''' = 0

Meine Wp. stimmen demnach nicht.

y''' = 5

verwirrt

verwirrt

Ich hoffe, ich konnte zeigen, worauf ich hinaus will.

lg

13.04.2013, 20:20

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, leider blicke ich durch das was du geschrieben hast nicht durch.

Kannst du es vielleicht anders darstellen, bzw. die konkrete Funktion angeben um die es geht.

13.04.2013, 20:32

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

y(x) = x^2 + x - 12

y(x)' = 2x + 1

y(x)'' = 2

y(x)''' = 0

-------------------------

N_1 = 3, N_2 = - 4

E_1 = - 0,5
Es bringt ja nichts, diese noch in die zweite Ableitung setzen um dies auszurechnen, da dort keine Variable mehr existiert.

Wie erfahre ich nun ob mein Extremp. ein H oder T-Punkt ist?

lg

13.04.2013, 20:41

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Ist die zweite Ableitung den größer oder kleiner Null?

13.04.2013, 20:45

Tipso

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Natürlich ist sie größer.
Sie ist immer größer. Bedeutet dies, ich habe hier immer einen Tiefp.?

Was mache ich, wenn ich zwei Extremp. habe?
Sie sind beide Tiefp.?

lg

13.04.2013, 20:48

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Funktion 2. Grades hat nie zwei Extremwerte.
Und ja, dein Scheitelpunkt den du berechnest ist ein Tiefpunkt, weil die zweite Ableitung größer als Null ist.

13.04.2013, 20:52

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

In solchen Fällen spielt also die größe des Extremwertes keine Rolle. verwirrt

verwirrt

lg

13.04.2013, 20:53

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Was meinst du den mit größe des Extremwertes? Den y-Wert?
Wieso sollte er keine Rolle spielen?

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