Beweis mittels L'hospital , dass Folge gegen ln(x) konvergiert.

12.04.2013, 19:48

Mathesüchtiger

Beweis mittels L'hospital , dass Folge gegen ln(x) konvergiert.

Hallo,

ich möchte zeigen, dass folgende Folge gegen ln(x) konvergiert.

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } n*(1-\frac{1}{\sqrt[n]{x} } ) \end{eqnarray*}$ , wobei x>1 ist.

Dazu forme ich die Folge so um, damit ich L'hospital anwenden kann und erhalte:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{1-\frac{1}{\sqrt[n]{x} } }{\frac{1}{n} } \end{eqnarray*}$

dies ist nach L'hospital gleich:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{-\frac{1}{n}*x^{\frac{1}{n}-1 } }{\frac{1}{-n^{2} } } \end{eqnarray*}$

Und irgendwie bin ich unsicher...ist das überhaupt richtig? Und , wenn ja? Wie gehts weiter?

Bin für jede Hilfe dankbar smile

12.04.2013, 20:06

weisbrot

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RE: Beweis mittels L'hospital , dass Folge gegen ln(x) konvergiert.
pass halt auf wonach du da ableitest!
lg

12.04.2013, 20:25

Mathesüchtiger

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RE: Beweis mittels L'hospital , dass Folge gegen ln(x) konvergiert.

Zitat:

Original von weisbrot
pass halt auf wonach du da ableitest!
lg

Vielen Dank!

Das hat mir jetzt weitergeholfen ..

nun habe ich:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{1-x^{-\frac{1}{n} } }{\frac{1}{n} } = \lim_{n \to \infty } \frac{1-e^{-\frac{1}{n}*ln(x) } }{\frac{1}{n} } = \lim_{n \to \infty } \frac{e^{-\frac{1}{n}*ln(x) }*\frac{ln(x)}{n^{2} } }{\frac{1}{n^{2} } } = \lim_{n \to \infty } e^{-\frac{1}{n}*ln(x) } *ln(x)=1*ln(x)=ln(x) \end{eqnarray*}$

Stimmt daS? smile

12.04.2013, 20:58

grosserloewe

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RE: Beweis mittels L'hospital , dass Folge gegen ln(x) konvergiert.
Wink

Hallo

ich hab da so berechnet:

12.04.2013, 21:01

weisbrot

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RE: Beweis mittels L'hospital , dass Folge gegen ln(x) konvergiert.
ja stimmt.
lg

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Beweis mittels L'hospital , dass Folge gegen ln(x) konvergiert.

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