Integral /Extremwerteaufgabe |
| 12.04.2013, 19:53 | JuliaJulia | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Integral /Extremwerteaufgabe Liebes Matheboard-Team, ich stehe knapp vor der Matura und somit werden jetzt alle möglichen Beispiele miteinander kombiniert. Während ich alle Beispiele recht gut rechnen, kann, geht es mir bei den Mixbeispielen nicht so gut... Vor allem bei folgenden Beispiel: Dem Paraboloid, welches durch die Drehung der Parabel y^2=2px um die x-Achse zwischen x1=0 und x2=4p entsteht, ist ein Zylinder größten Rauminhalts einzuschreiben. Gib die Maße und das Volumen des Zylinders an! Wie viel Prozent beträgt der Abfall, wenn der Zylinder aus dem Paraboloid herausgeschnitten wird? Meine Ideen: Ich kann mir ja eigentlich das Volumen des Paraboloids ausrechnen, habe aber kein p gegeben? Wie komme ich zu diesem oder rechne ich einfach damit wie mit einer Zahl? Ich kann mir außerdem auch nicht vorstellen, wie dieser Zylinder im Paraboloid "steht". Muss ich die Parabel umdrehen, sodass er auf der Grundfläche, die durch das Integral gekennzeichnet ist, steht? Lg JUlia |
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| 12.04.2013, 21:42 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du rechnest mit p wie mit einer Zahl. Beim Prozentwert wird sich p aufheben ... EDIT: Ach ja, noch zum Zylinder: Der Zylinder steht mit seiner Basis auf der Ebene, die durch Rotation der Geraden x = 4p entsteht, er ist der Parabel gegen den Scheitel hin eingeschrieben (der Deckkreis liegt auf der Paraboloidfläche). Nimm dort einen Parabelpunkt (x; y) an, dann istt die Nebenbedingung einfach die Parabelgleichung. Die Hauptbedingung ist das Volumen des Zylinders, welches mittels der Punktkoordinaten zu erstellen ist. Anmerkung: NICHT die maximale Fläche bestimmen! Die maximale Fläche erzeugt NICHT gleichzeitig auch das maximale Volumen! (Das ist ein "beliebter" Fehler) mY+ |
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| 12.04.2013, 21:45 | Bürgi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Integral /Extremwerteaufgabe Guten Abend, 1. Mach Dir eine aussagefähige Skizze, indem Du einen beliebigen Wert für p nimmst. 2. Das Volumen des Paraboloids wird in Abhängigkeit von p bestimmt: Edit (mY+): Lösungsteile entfernt EDIT (mY+): (wieder eingefügt): 3. Die Höhe des Zylinders hat die Länge [ (4p - s) ] und der Radius des Grundkreises ist natürlich [ ] Edit (mY+): Aus Gründen der Vollständigkeit wieder eingefügt. 4. Die Volumenformel für den Zylinder stellt Deine Hauptbedingung dar. ... und jetzt bist Du dran! |
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| 12.04.2013, 21:57 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@Bürgi Sorry, ich musste Teile deiner Lösungen entfernen. Es geht NICHT, dass du den Lösungsweg so detailliert vorzeichnest (abgesehen von der Skizze, diese ist hilfreich), das entspricht nicht dem Prinzip des Forums. Julia ist als Abiturientin sicher in der Lage, mit den bisher gegebenen Hinweisen diese Aufgabe anzugehen. Im Falle, wenn sie dann irgendwo hängt, kann man immer noch mit mehr Details nachlegen. [Hab' ICH schon ein schlechtes Gewissen, ob ich vielleicht schon zu viel preisgegeben habe 
]mY+ |
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| 12.04.2013, 22:21 | JuliaJulia | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Lieber Mythos, mir ist deine Erklärung leider nicht so ganz klar... Die Skizze ist für mich dank Bürgi äußerst verständlich.
Hierbei handelt es sich doch nicht um eine Gerade, sondern um einen Punkt oder?
Kann ich hier (wobei mir unklar ist, wo ich bei deiner Gerade ein y einsetzen soll) jeden x-beliebigen Punkt einsetzen? Bei meiner Nebenbedingung müsste ich mir doch h oder r^2 ausdrücken? Dies ist aber mit der Parabelgleichung, welche y=2px lautet, überhaupt nicht möglich... |
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| 12.04.2013, 23:33 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Als ich den Text geschrieben habe, war die Skizze von Bürgi noch nicht zu sehen, zumindest nicht bei mir. Nun, wenn diese für dich nun so gut verständlich ist: Die grüne Gerade ist jene, um die es sich bei der Beschreibung handelte. Die Gleichung dieser zur y-Achse parallelen Geraden lautet x = 4p, es handelt sich also nicht nur um den Punkt auf der x-Achse. Wenn die Gerade jetzt um die x-Achse rotiert, entsteht doch eine Ebene, nicht? Darauf steht der Zylinder. So, jetzt brauchen wir Radius und Höhe des Zylinders, richtig. Beides kannst du dir aus den Koordinaten des Punktes, der auf der Parabel liegt, zusammensetzen. Bei dem Punkt handelt es sich um jenen, in dem die schwarze Strecke bei s die Parabel trifft. Ich habe für dessen Koordinaten x, y vorgeschlagen, bei Bürgi ist der x-Wert s und der y-Wert jener, der sich beim Einsetzen von s in die Parabelgleichung ergibt. Beides läuft auf dasselbe hinaus, du kannst das also machen, wie du willst. Nimm vielleicht den Weg von Bürgi ... Jedenfalls sind der Radius und die Höhe* dadurch bestimmt, darin kommt nur noch s als Unbekannte vor. Beachte: p ist KEINE Unbekannte, sondern ein fester Parameter, wie schon eingangs bemerkt, er ist also wie eine gegebene Zahl zu behandeln. (*) h ist die Differenz zwischen der grünen und der schwarzen Geraden, die grüne schneidet lt. Angabe bei 4p die x-Achse Funkt's jetzt? Schreibe deinen Ansatz! mY+ |
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| 13.04.2013, 07:28 | Bürgi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@mythos Ich habe mit dieser Exzision überhaupt keine Probleme, schließlich kennst Du die Spielregeln des Forums besser als ich - ich bin ja noch neu hier. Ich hatte mir im Vorfeld überlegt, wie groß der Arbeitsaufwand für die vollständige Beantwortung der Aufgabe ist und habe dann nur so viel veröffentlicht, dass noch reichlich zu tun übrig blieb. Im Übrigen ist genau das eingetreten, was ich mit meinen Angaben eigentlich verhindern wollte, dass Du nämlich mit Andeutungen und Beschreibungen genau die Angaben bekanntgeben musst, die ich mit ein paar Termen oder Gleichungen bereit gestellt hatte. |
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| 13.04.2013, 15:59 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@Bürgi Dasselbe habe ich mir auch schon gedacht. Im Wesentlichen stimmt das - mehr oder weniger zufällig. Allerdings ist bei Fragestellern, die in der Abiturientenklasse sitzen, in der Regel ein eher besserer Wissensbackground vorauszusetzen. Schließlich ist das Abitur in einigen Wochen und dabei sitzt dann niemand mehr bei Julia und sagt ihr, wie die Aufgabe anzugehen ist. Jetzt noch hat sie die Gelegenheit, den Lösungsweg mit uns gemeinsam zu erarbeiten. Die Betonung liegt auf gemeinsam. Und daher müssen die entsprechenden Ideen auch von ihr kommen, wann denn, wenn nicht jetzt? Ich bin nach wie vor der Ansicht, dass in diesem Fall erst dann weiterführende Informationen gegeben werden, wenn effektiv kein Weiterkommen festzustellen ist. Das habe ich jetzt getan, wobei ich weiterhin noch keine Formel oder Gleichung angegeben habe. Denn dies ist Sache desjenigen, der die Aufgabe zu lösen hat. Später kann man ja immer noch darüber reden. mY+ |
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| 15.04.2013, 18:07 | JuliaJulia | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke für eure Mühen. Hab das Beispiel trotz eurer tollen Erklärung aber nur halb verstanden. Ich habe aber heute meine Mathelehrerin gefragt und sie hat gesagt, dass wir das Beispiel nicht können müssen da wir noch nie etwas in diese Richtung gemacht haben! Trotzdem vielen Dank für eure Hifle! |
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