Bilinearformen und Untervektorräume

12.04.2013, 20:36	Derive13	Auf diesen Beitrag antworten »
Bilinearformen und Untervektorräume Ich hab ein kleines Problem mit folgender Aufgabe: (Im Folgenden ist V ein Vektorraum mit symm., nicht ausgearteter Bilinearform und U und W Unterräume) a) zz.: $\begin{eqnarray} U^\perp + W^\perp \subseteq (U \cap W)^\perp \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} U^\perp + W^\perp = (U \cap W)^\perp \end{eqnarray}$ gilt, falls V endlich-dimensional ist. Geben Sie ein Beispiel an, für das die "Ungleichung aus (a) scharf wird" (hab ich jetzt mal frei formuliert). a) hab ich glaub ich hinbekommen: Sei v € $\begin{eqnarray} (U^\perp + W^\perp) \end{eqnarray}$ dann gibts v1 € $\begin{eqnarray} U^\perp \end{eqnarray}$ und v2 € $\begin{eqnarray} W^\perp \end{eqnarray}$ mit v=v1+v2. Dann gilt für x € (U geschnitten W) : <v,x>=<v1+v2,x>= <v1,x> + <v2,x> = 0 +0 = 0, denn x € U und x € W, also v € $\begin{eqnarray} (U \cap W)^\perp \end{eqnarray}$ Ok soweit? oder schon falsch? bei b) fehtl mir der Ansatz, ich hab schon versucht, zu argumentieren, dass linke Seite und rechte Seite ja dieselbe Dimension haben müssten, um überhaupt gleich sein zu können (Dimensionsformel), führte ins Leere und wie in a kann ich wohl auch nicht vorgehen. Auch fällt mir dummerweise kein Beispiel für den 2. Teil ein. Das Beispiel müsste ja ergeben, dass es einen Vektor in $\begin{eqnarray} (U \cap W)^\perp \end{eqnarray}$ gibt, der in $\begin{eqnarray} U^\perp + W^\perp \end{eqnarray}$ nicht liegt. Ich komm im Moment nicht weiter und das ärgert mich ^^. Danke schonmal!
13.04.2013, 12:29	watcher	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, die a) passt. Bei der b) zuckst du kürz vor der Lösung zurück. Ist B endlich-dimensional, A Unterraum so gilt: Gilt $\begin{eqnarray} A \subseteq B \end{eqnarray}$ und dim(A)=dim(B) so ist A=B. b) folgt damit aus a). Zum Bsp. Welche unendlich-dimensionalen VR mit geeigneter Bilinearform kennst du denn? P.S \in $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$
13.04.2013, 23:59	Derive13	Auf diesen Beitrag antworten »
Erstmal danke für die Hinweise! Sponan fiele mir der R[x] ein, also der VR aller Polynome (der hat ja als Basis die Monome 1, x, x^2,......). Da hatten wir: <p(x),q(x)> = $\begin{eqnarray} \int_a^b \! p(x)q(x) \, dx \end{eqnarray}$ allerdings bisher immer für eine endliche Basis (Polynome bis Grad 2 oder so) Hilft der hier,wenn U und W vllt so gewählt werden, dass ihr Durchschnitt leer ist (denn dann wäre das orthogonale Komplement ja gleich V also VR der Polynome selbst)??
14.04.2013, 00:24	watcher	Auf diesen Beitrag antworten »
Keine Ahnung ob das in diesem Raum funktioniert. Einfach mal ein bisschen rumprobieren. Disjunkte U,W sind wohl eine gute Idee (Merke: der Schnitt zweier Unterräume ist immer nicht-leer.) Woher nimmst du die a,b für dein Integral?
14.04.2013, 00:36	Derive13	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt! Der Nullvektor ist ja immer Element eines Unterraums. a und b sind reelle Zahlen (wir hatten zb a=-1 und b=1, wäre hier vielleicht einfacher) Wenn U und W disjunkt sind und endlich-dimensional, dann ist doch $\begin{eqnarray} (U \cap W)^\perp \end{eqnarray}$ = V (wenn eines der Polynome im Integral das Nullpolynom ist) Dann müsste ich doch nur noch ein Polynom suchen, dass sich nicht als Summe je eines Elementes aus $\begin{eqnarray} U^\perp \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} W^\perp \end{eqnarray}$ schreiben lässt

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