Skalarprodukt

12.04.2013, 21:09

Timbonane

Skalarprodukt

Hallo!

Meine Aufgabe ist folgende:

Sei $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} a & c \\ c & b \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

eine reelle, symmetrische 2 2 Matrix.

Für $\begin{eqnarray*} x,y \in \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ setze

$\begin{eqnarray*} <x,y>=x^TAy \end{eqnarray*}$ .

Wann ist $\begin{eqnarray*} <.,.> \end{eqnarray*}$ ein Skalarprodukt auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ?

Geben Sie die notwendigen und hinreichenden Bedingungen an a,b,c an.

Jetzt weis ich jedoch nicht, was da wirklich von mir verlangt wird.

Ich habe in die Angabe eingesetzt, und symmetrie sowie bilinearität überprüft, und das passt soweit, denke ich?

D.h. dieser die notwendigen und hinreichenden bedingungen müssen sich dann auf das positiv definit beziehen, oder?

Wenn ich jetzt z.b.
$\begin{eqnarray*} x=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
setze, und dann $\begin{eqnarray*} <x,y> \end{eqnarray*}$ berechne, dann bekomm ich ja
$\begin{eqnarray*} x_1y_1a+x_1y_2c+y_1x_2c+x_2y_2b \end{eqnarray*}$
raus
Wie überprüfe ich da jetzt, wann das ganze $\begin{eqnarray*} \geq 0 \end{eqnarray*}$ ist?

Dankeschön im Voraus, wäre über jede Hilfestellung dankbar! Big Laugh

12.04.2013, 22:02

Helferlein

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Warum sollte das größer gleich Null sein?
Es gibt doch auch beim euklidischen Skalarprodukt Vektoren, deren Skalarprodukt negativ ist.

12.04.2013, 22:18

Timbonane

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Ups, da hab ich mich aber gröber vertan, es muss ja nur
$\begin{eqnarray*} <x,x>\ \geq 0 \end{eqnarray*}$ sein.....

Müsste dann also

$\begin{eqnarray*} x_1 ^2a+2x_1x_2c+x_2^2b \geq 0 \end{eqnarray*}$

sein, oder?

12.04.2013, 22:47

Helferlein

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Genau und da das für alle $\begin{eqnarray*} x\neq0 \end{eqnarray*}$ gelten muss, lässt sich daraus ein wenig folgern.

12.04.2013, 23:00

Timbonane

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Muss ich da dann wirklich so viele Unterscheidungen machen?

für $\begin{eqnarray*} x_1\geq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2 \geq 0 \end{eqnarray*}$ hätte ich dann ja schon mindestens 4 verschiedene Fälle, die ich betrachten muss, oder?

12.04.2013, 23:07

Helferlein

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Wenn Du die alle durchspielen willst, dann ja. Notwendig ist das aber nicht.
Wähle einfach ein paar "leichte" Vektoren, um auf Eigenschaften von a,b und c zu schließen.

12.04.2013, 23:38

Timbonane

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hmm, wenn ich z.b. die beiden Vektoren

$\begin{eqnarray*} x=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

einsetze, folgt mir ja direkt, dass $\begin{eqnarray*} a \geq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \geq 0 \end{eqnarray*}$ , oder?

Aber wie sich das mit c verhält, ist mir noch etwas schleierhaft, denn je nachdem, wie der Vektor aussieht, folgen mir ja viele verschiedene Bedingungen für c, oder?

z.b. $\begin{eqnarray*} a+b \geq 2c \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a+4b \geq 2c \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 9a+25b \geq 15c \end{eqnarray*}$

eine allgemeine Aussage über c find ich da irgendwie nicht :S

13.04.2013, 00:54

Helferlein

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Versuch mal das hier

Zitat:

$\begin{eqnarray*} x_1 ^2a+2x_1x_2c+x_2^2b \end{eqnarray*}$

als Summe zweier Quadrate zu schreiben und nutze dann die eben gewonnene Erkenntnis aus.

13.04.2013, 01:40

RavenOnJ

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Es gibt Bedingungen, die eine positiv definite Matrix erfüllen muss, beispielsweise positive Hauptminoren oder positive Eigenwerte.

13.04.2013, 06:26

Timbonane

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Leider hatten wir in der Vorlesung bis jetzt weder Minoren, noch Eigenwerte :S

Ich weis auch nicht genau, wie ich diesen Term nun als Summe zweier quadrate schreiben soll...
Ich könnte es ja sonst, mit quadratischer Ergänzung, so schreiben:

$\begin{eqnarray*} ax_1^2+2x_1x_2c+bx_2^2= \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (\sqrt a x_1+ \sqrt b x_2)^2-2*\sqrt a*\sqrt b *x_1* x_2 +2*x_1*x_2*c \end{eqnarray*}$

Aber das wäre dann ja nicht die Summe aus 2 Quadraten, und je nachdem könnte ich ja sowohl
$\begin{eqnarray*} c \geq \sqrt{ab} \end{eqnarray*}$
als auch
$\begin{eqnarray*} c \leq \sqrt{ab} \end{eqnarray*}$
rauslesen......

Ich bin verwirrt Hammer

13.04.2013, 14:04

Timbonane

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Ich habs jetzt nochmal ein bisschen anders versucht.

ich kann ja

$\begin{eqnarray*} ax_1^2+2x_1x_2c+bx_2^2 \geq 0 \end{eqnarray*}$
auch so schreiben
$\begin{eqnarray*} a(x+\frac c a x_2)^2+\frac {ab-c^2} a x_2^2 \geq 0 \end{eqnarray*}$

Weil ich jetzt ja schon weis, dass $\begin{eqnarray*} a, b \geq 0 \end{eqnarray*}$ sind,

fordere ich von c nun nur noch: $\begin{eqnarray*} ab-c^2 \geq 0 \end{eqnarray*}$
Also $\begin{eqnarray*} ab \geq c^2 \end{eqnarray*}$

Bin ich damit schon näher dran?

13.04.2013, 14:44

RavenOnJ

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$\begin{eqnarray*} ab-c^2 \end{eqnarray*}$ ist die Determinante von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ . Mit dieser von dir geschriebenen Bedingung sind die Hauptminoren $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \operatorname{det}(A) \end{eqnarray*}$ beide größer 0, womit die Matrix positiv definit ist.

Edit: Statt x müsste $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ stehen, ansonsten OK.

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