Gleichung mit Summenzeichen umformen

12.04.2013, 23:16	GetOverIt	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichung mit Summenzeichen umformen Hallo liebe Community Da dies sogleich mein erster Beitrag hier im Forum ist, heisse ich euch alle Willkommen und hoffe sogleich alles auf Anhieb hier richtig zu machen. Die Aufgabe um die es sich handelt: Zeigen Sie, dass die Zahl $\begin{eqnarray} (\sum\limits_{k=1}^n k)^{2} = (1 + 2 + 3 + ... + n)^{2} \end{eqnarray}$ gleich der Summe der Einträge einer Multiplikationstafel des Einmaleins von 1 bis n ist. Diese Multiplikationstafel: http://www.echteinfach.tv/mathematik/grundlagen/G01_Grundrechenarten/Multiplikationstabelle.png Nunja, ich bin ein ziemlicher Laie in jeglicher Form von Beweisen oder sostigem "Zeigen". Jedenfalls sollte diese Zeigen in etwa so vonstatten gehen (Vom Kursbetreuer): z.B. kann man durch (einfache) Umformungen den Sachverhalt zeigen. Bei den einzelnen Umformungen nutzen Sie evtl. verschiedene elementare Rechengesetze, die Sie als Erläuterung dazu schreiben und Sie sind fertig. Also ganz links steht der eine Term und am Ende von diversen Umformungen und Gleichheitszeichen steht der andere Term. Meine Vorgehensweise: $\begin{eqnarray} (\sum\limits_{k=1}^n k)^{2} = \sum\limits_{k=1}^n k + \sum\limits_{k=1}^n 2k + \sum\limits_{k=1}^n 3k + ... + \sum\limits_{k=1}^n nk \end{eqnarray}$ [Die Rechte Seite der Gleichung ist nun eben die Summe aller n Zeilen in der Mulitplikationstabelle] $\begin{eqnarray} = \sum\limits_{k=1}^n \sum\limits_{j=1}^n jk \end{eqnarray}$ Nun schön und gut. Wenn ich mit einfachen Beispielen nachrechne (n=2,4,5...) verstehe ich auch warum diese Gleichung erfüllt sein muss. Doch wie kann ich die Gleichung noch weiter umformen, damit deutlich wird das das Quadrat der linken Summe gleich die Summe der Summe ist? Mir fehlt da irgendwie die zündende Idee... Danke für jede Hilfe!
12.04.2013, 23:48	GetOverIt	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe nun noch einen zweiten Ansatz, der mir aber immer noch zu trivial erscheint. Es gilt ja folgende Regel: $\begin{eqnarray} <br /> \sum\limits_{k=1}^n \lambda \cdot k = \lambda \cdot\sum\limits_{k=1}^n k <br /> \end{eqnarray}$ Deshalb können wir die Gleichung auch so schreiben: $\begin{eqnarray} <br /> (\sum\limits_{k=1}^n k)^{2} = \sum\limits_{k=1}^n k + \sum\limits_{k=1}^n 2k + \sum\limits_{k=1}^n 3k + ... + \sum\limits_{k=1}^n nk<br /> <br /> = 1\cdot\sum\limits_{k=1}^n k + 2\cdot\sum\limits_{k=1}^n k + 3\cdot\sum\limits_{k=1}^n k + ... + n\cdot\sum\limits_{k=1}^n k<br /> \end{eqnarray}$ [Doch obige rechte Seite ist ja nun nichts anderes als die Summe der Produkte der ersten n natürlichen Zahlen mit der Summe der ersten n natürlichen Zahlen] $\begin{eqnarray} <br /> = \sum\limits_{k=1}^n \left(k \cdot \sum\limits_{k=1}^n k\right) = \sum\limits_{k=1}^n k \cdot \sum\limits_{k=1}^n k<br /> \end{eqnarray}$ Oder soll ich die Sache vielleicht ganz anders angehen? Irgendetwas mit dem kleinen Gauss vielleicht? $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray}$

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