Vertrauensintervall - unbekannte Wahrscheinlichkeit

12.04.2013, 23:47	swert	Auf diesen Beitrag antworten »
Vertrauensintervall - unbekannte Wahrscheinlichkeit Meine Frage: Folgende (spaßig geäußerte) Aussage: "Ich werfe eine Münze zweimal, sie zeigt immer Kopf. Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis 'Kopf' liegt also bei 100%" Welche Aussage über das Intervall in dem die reale Wahrscheinlichkeit liegt kann man mit 95%iger Sicherheit treffen? (Also: "Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses 'Kopf' liegt fast sicher zwischen xx% und 100%") Meine Ideen: Erste Idee: Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis '2x Kopf' liegt bei p². Das läst sich also als Funktion f(p)=p² darstellen. Wenn ich das jetzt integriere entspricht das Intervall von 0 bis 1 der Gesamtmenge an Ereignissen, also 100% - in dem Fall entspricht das 1/3 (,da F(p)=p³/3). Da ich 95%ige Sicherheit haben will ziehe ich die ersten 5% - also das Intervall von 0 bis p mit der Fläche von 1/60 - ab. Dies ist erfüllt bei p=0.36840. Also: "Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses Kopf liegt mit 95%iger Sicherheit zwischen 37 und 100%."?! Zweite Idee: Wenn ich 95%ige Sicherheit will, muss ich nur die Wahrscheinlichkeit finden, bei der das Ereignis "2x Kopf" unwahrscheinlicher als 5% ist, also p=sqrt(0,05)=0.223607. Also: "Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses Kopf liegt mit 95%iger Sicherheit zwischen 22 und 100%."?! Dritte Idee: http://de.wikipedia.org/wiki/ Konfidenzi...rechn<br /> ung alpha=0,05 k=2 n=2 pu = BETA.INV(0,025;2;1) = 0,158113883 po = 1 Also: "Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses Kopf liegt mit 95%iger Sicherheit zwischen 16 und 100%."?! Ist überhaupt ein richtiger Ansatz dabei? Die Streuung ist ja doch sehr groß, aber wenigstens liegt 0,5 immer im Intervall.
13.04.2013, 10:01	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vertrauensintervall - unbekannte Wahrscheinlichkeit Die zweite Idee ist richtig. Die dritte Methode ist auch richtig, wenn man eine Kleinigkeit beachtet, die leider in dem Wikiartikel nicht erwähnt ist. Der Wikiartikel behandelt ausschließlich das zweiseitige Konfidenzintervall. Bei einem Null- oder Vollergebnis in der Stichprobe (k = 0 oder k = n)gibt es aber kein zweiseitiges Konfidenzintervall sondern nur ein einseitiges Konfidenzintervall. Bezeichnet $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ das Konfidenzniveau, ist für die Grenze dieses einseitigen Konfidenzintervalls $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} 1-\gamma \end{eqnarray}$ einzusetzen, in deinem Fall also $\begin{eqnarray} 1-0.95 =0.05 \end{eqnarray}$ . BETAINV(0.05;2;1) ergibt auch das richtige Ergebnis.
14.04.2013, 14:15	swert	Auf diesen Beitrag antworten »
Wow... darauf hätte man auch noch kommen können. Vielen Dank! Jetzt habe ich ein bisschen rumprobiert ob mein zweiter Ansatz immer funktioniert und habe folgendes Beispiel probiert: Eine Münze wird 10 mal geworfen, und zeigt 5 mal Kopf. Wie groß ist das 95%ige Konfidenzintervall für die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses Kopf? Die allgemeine Wahrscheinlichkeit hierbei ist ja $\begin{eqnarray} ~\binom n k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \end{eqnarray}$ Konkret wäre das $\begin{eqnarray} 252 \cdot p^5 \cdot (1-p)^5 \end{eqnarray}$ Das Ganze soll ja jetzt eine geringere Wahrscheinlichkeit als 5% haben, also setze ich es mit 0,05 gleich und erhalte $\begin{eqnarray} p_u = 0.239 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} p_o = 0.761 \end{eqnarray}$ (Oder muss ich jetzt mit 0,025 rechnen, weil es zweiseitig ist? Dann käme ich auf 0,197 bzw. 0,803) Wenn ich das jetzt mit BETAINV probiere erhalte ich: BETAINV(0,025;5;6)= 0,187 und BETAINV(0,975;6;5)= 0,813 Wo liegt der Fehler?
15.04.2013, 09:27	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein zweiter Ansatz ist nur beim Null- (k = 0) oder Vollergebnis (k = n) richtig. Beim zweiseitigen Konfidenzintervall mit Konfidenzniveau $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ ist der Anteil $\begin{eqnarray} 1-\gamma \end{eqnarray}$ auf die Bereiche links und rechts der Grenzen des Konfidenzintervalls aufzuteilen. Bei $\begin{eqnarray} \gamma =0.95 \end{eqnarray}$ darf also nur jeweils ein Anteil von 0.025 unterhalb der unteren und oberhalb der oberen Grenze liegen. Um die Grenzen zu finden, sind die Gleichungen $\begin{eqnarray} P(X \geq k)= \sum_{i=k}^n \binom n i p^i(1-p)^{n-i}=1-\sum_{i=0}^{k-1} \binom n i p^i(1-p)^{n-i}=.025 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} P(X \leq k)= \sum_{i=0}^k \binom n i p^i(1-p)^{n-i}=0.025 \end{eqnarray}$ zu lösen. Die Formeln mit der Betaverteilung leisten dies. Du hast stattdessen $\begin{eqnarray} P(X=k) = 0.025 \text { bzw. } = .975 \end{eqnarray}$ gelöst. Das Ergebnis liegt nur zufällig in der Nähe der korrekten Lösung.

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