Bestimmung eines Produktionsplanes mit höchstem Gewinn

13.04.2013, 04:12

00Alex

Bestimmung eines Produktionsplanes mit höchstem Gewinn

Hallo, vielleicht kann mir bitte jemand erste Lösungsansätze zur folgenden Aufgabe geben:

Für ein Unternehmen, das zwei Güter in den Mengen x1 und x2 herstellt, gilt die Gewinnfunktion
G(x1, x2) = 14*x1 +28*x2 –x1^2 - 2*x2^2 +x1*x2
Bestimmen Sie den Produktionsplan mit höchstem Gewinn!
Wie hoch ist dieser Gewinn?

Die Aufgabe soll ohne graphf. Taschenrechner gelöst werden.

Muss ich dafür einfach die 1. Ableitung bilden und 0 setzen?

Bitte um Rückantwort.

MfG Alex

13.04.2013, 08:11

Kasen75

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Hallo,

du schreibst:

Zitat:

Muss ich dafür einfach die 1. Ableitung bilden und 0 setzen?

Im Prinzip ja. Man bestimmt die beiden 1. partiellen Ableitungen.

Erst leitet man einmal partiell nach $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ ab und setzt diese Ableitung gleich Null.
Dann leitet man partiell nach $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ ab und setzt diese Ableitung gleich Null:

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial G}{\partial x_1}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial G}{\partial x_2}=0 \end{eqnarray*}$

Aus diesem entstehenden Gleichungssystem kann man dann die Koordinaten der relativen Extrema bestimmen.

Um zu bestimmen welcher Art die Extrema sind, kann man die 2. partiellen Ableitungen bilden. Dann ist die hinreichende Bedingung für ein relatives Maximum:

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial^2 G}{\partial x_1 \partial x_1} \cdot \frac{\partial^2 G}{\partial x_2 \partial x_2}-\frac{\partial^2 G}{\partial x_2 \partial x_1} \cdot \frac{\partial^2 G}{\partial x_1 \partial x_2} >0 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial^2 G}{\partial x_1 \partial x_1} <0 \end{eqnarray*}$

Grüße.

14.04.2013, 16:21

00Alex

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Also ich habe jetzt die 1. Ableitungen gebildet:

Gx1 (x1, x2)` = 14 - 2*x1 + x2
Gx2 (x1, x2)` = 28 - 4*x2 + x1

Diese 0 gesetzt, dann erhalte ich für x1 aus der 1. Gleichung:

x2 = 2*x1 -14

x1 = 4*x2 - 28
= 4*(2*x1 -14) - 28
= 8*x1 - 56 - 28
= 8*x1 - 84
7*x1 = 84
x1 = 12

x1 in die obere Gleichung eingesetzt, um x2 zu erhalten:

-> x2 = 12

Wie ist das mit der 2. Ableitung? Bekomme ich dann insgesamt nochmal 4 Gleichungen, da ich ja
Gx1 (x1, x2)`einmal nach x1 und nach x2 ableiten kann und Gx2 (x1, x2)`analog???

Gx1 (x1, x2)`` = 2
Gx1 (x1, x2)`` = 1

Gx2 (x1, x2)`` = 1
Gx2 (x1, x2)`` = 4

14.04.2013, 17:05

Kasen75

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Bei den Ableitungen und den Wert für $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ habe ich dasselbe.
Beim Wert für $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ würde ich noch mal nachrechnen. Am Besten mit dieser Gleichung $\begin{eqnarray*} x_2 = 2*x_1 -14 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Gx1 (x1, x2)`` = 2
Gx1 (x1, x2)`` = 1

Gx2 (x1, x2)`` = 1
Gx2 (x1, x2)`` = 4

Hier bist du auf dem richtigen Weg. Du hast nur die Vorzeichen nicht berücksichtigt. So ist z.B. $\begin{eqnarray*} G_{x_1x_1} (x_1, x_2) =-2 \end{eqnarray*}$
Wichtig ist auch noch, dass man die Ableitungen unterscheiden kann. Nach deiner Notationart müsste die zweifache Ableitung nach $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ so aussehen.

$\begin{eqnarray*} G_{x_1x_1} (x_1, x_2) \end{eqnarray*}$

Dagegen ist die Ableitung nach $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ dann:

$\begin{eqnarray*} G_{x_1x_2} (x_1, x_2) =G_{x_2x_1} (x_1, x_2) \end{eqnarray*}$

Du hast recht damit, dass die Reihenfolge hierbei egal ist. Deswegen habe ich die Ableitungen auch gleichgesetzt.

Wenn du die Vorzeichen berichtigt hast, dann kannst du die Ausdrücke berechnen, die ich gepostet hatte und schauen, ob sie jeweils die beiden Bedingungen erfüllen.

15.04.2013, 07:21

00Alex

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Habs jetzt nochmal neu gemacht:

Also x2 = 10

und

Gx1x1 (x1, x2) = -2
Gx1x2 (x1, x2)`` = 1

Gx2x1 (x1, x2)`` = 1
Gx2x2 (x1, x2)`` = -4

(-2 * -4) - (1 * 1) > 0

8 -1 > 0

7 > 0 --> erfüllt

-2 < 0 --> erfüllt

Also weiß ich jetzt das ein relatives Maximum vorhanden ist, aber was sagt mir das für die beiden Fragen der Aufgabe:

Bestimmen Sie den Produktionsplan mit höchstem Gewinn!

Das ich mit den Mengen x1=12 und x2=10 den höchsten Gewinn erreiche???

Wie hoch ist dieser Gewinn?

Muss ich x1 und x2 in die Gleichung einsetzen und einfach ausrechnen???

Dann wäre das 224.

Ist das richtig???

Danke im Voraus!

15.04.2013, 13:43

Kasen75

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Alles richtig.

Jetzt kann man noch prüfen, wenn gefordert, ob das relative Maximum auch ein globales Maximum ist.

Das es sich bei $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ um Güter handelt, ist die prinzipielle Definionsmenge von $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} D=[0,\infty) \end{eqnarray*}$

Somit müsste man 4 Fälle überprüfen.

1. $\begin{eqnarray*} x_1 \to \infty,x_2 \to \infty \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} x_1 \to \infty,x_2=0 \end{eqnarray*}$

3. $\begin{eqnarray*} x_1 =0,x_2 \to \infty \end{eqnarray*}$

4. $\begin{eqnarray*} x_1=0,x_2=0 \end{eqnarray*}$

Ob dieser Teil wirklich noch gefordert ist, bin ich mir nicht sicher. Aber das weißt du besser als ich.

15.04.2013, 17:17

00Alex

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Vielen Dank für die Hilfe! Freude

15.04.2013, 17:19

Kasen75

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Gerne.

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