Schnittgerade zweier Ebenen - koordinatenform

13.04.2013, 14:44

Tipso

Schnittgerade zweier Ebenen - koordinatenform

Hallo,

Berechnen Sie die Schnittgerade der beiden Ebenen $\begin{eqnarray*} \epsilon_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \epsilon_2 \end{eqnarray*}$ sowie ihren Schnittwinkel.

$\begin{eqnarray*} \epsilon_1 : 2x + 3y + 4z = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \epsilon_2: 2x -y +5z = 0 \end{eqnarray*}$

= 0

sagt mir, dass es durch den Uhrsprung geht.
Warum?
Normalv. * P = 0
Bedeutet für mich nur, das ein P der Ebene zum Normalv. der Ebene orthogonal steht.

Berechnung der Schnittgerade:

\epsilon_1 - \epsilon_2 = 4y - z = 0

y=a

z = 4a

---------------------------------------------------

$\begin{eqnarray*} 2x + 3a + 4*4a = 0 \end{eqnarray*}$

2x + 19a = 0

x = -9,5a
----------------------------------------------------

$\begin{eqnarray*} \vec = \begin{pmatrix} x_1 \\ y_2 \\ z_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -9,5a \\ a \\ 4a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0+a(-9,5) \\ 0+a*1 \\ 0+a*1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}+ a\begin{pmatrix} -9,5 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

stimmt dies so?
Darf ich immer so vorgehen?

lg

Ps.
Ich bin max 20 min off. - essen.

13.04.2013, 15:02

Dopap

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RE: Schnittgerade zweier Ebenen - koordinatenform

Zitat:

Original von Tipso
$\begin{eqnarray*} \epsilon_1 : 2x + 3y + 4z = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \epsilon_2: 2x -y +5z = 0 \end{eqnarray*}$

= 0

sagt mir, dass es durch den Ursprung geht. Warum?

trivialerweise gehört der Punkt O(0,0,0) zur Ebene ---> Punktprobe

Zitat:

\epsilon_1 - \epsilon_2 : (i) 4y - z = 0

Sei (ii) y=a

(iii) z = 4a

stimmt dies so?
Darf ich immer so vorgehen?

ja jetzt stimmt es , das funktioniert immer sofern es Schnittpunkte gibt.

Schreibfigur zur Geraden: $\begin{eqnarray*} \vec x = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}= ... \end{eqnarray*}$

keine Indices !

13.04.2013, 15:19

Tipso

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Zitat:

trivialerweise gehört der Punkt O(0,0,0) zur Ebene ---> Punktprobe

stimmt immer wenn = 0 ist.

(i)
(ii)
(iii)

Ordnung der Rechnung.

$\begin{eqnarray*} \vec x = \begin{pmatrix} x_1 \\ y_2 \\ z_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -9,5a \\ a \\ 4a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0+a(-9,5) \\ 0+a*1 \\ 0+a*1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}+ a\begin{pmatrix} -9,5 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Mit Indices sind x_1,2,3 gemeint.
Warum sind diese nicht erlaubt? verwirrt

Nächster Schritt:
Schnittw.

Dafür berechne ich den Normalenv. der beiden Ebenen, indem ich deren Richtungsv. skaliere.(Vektorprodukt).

Daraufhin bilde ich das Skalarprodukt der beiden Normalv. der Ebenen, damit erhalte ich entweder den kürzeren oder den längeren Winkel, der beiden Ebenen.
Wenn der Winkel größer als 90° ist, dann ziehe ich davon 90° ab.

13.04.2013, 15:34

Dopap

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$\begin{eqnarray*} \vec x = \begin{pmatrix} x_1 \\ y_2 \\ z_3 \end{pmatrix}=... \end{eqnarray*}$

Zitat:

Mit Indices sind x_1,2,3 gemeint.
Warum sind diese nicht erlaubt? verwirrt

je nach Koordinaten-Achsen-beschriftung $\begin{eqnarray*} \vec x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}=... \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \vec x = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=... \end{eqnarray*}$

Zitat:

Schnittw.

Dafür berechne ich den Normalenv. der beiden Ebenen, ~~indem ich deren Richtungsv. skaliere.(Vektorprodukt).~~

Diese Ebenen in Koordinatenform haben nur jeweils einen Normalenvektor.Keine Richtungsvektoren!

Zitat:

Daraufhin bilde ich das Skalarprodukt der beiden Normalv. der Ebenen, damit erhalte ich entweder den kürzeren oder den längeren Winkel, der beiden Ebenen.
Wenn der Winkel größer als 90° ist, dann ziehe ich davon 90° ab.

ja, richtig, rechne mal vor !

13.04.2013, 15:57

Tipso

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Zitat:

Koordinaten-Achsen-beschriftung

hier ist sie x, y, z und nicht x_1, y_2, z_3. verwirrt

Zitat:

Dafür berechne ich den Normalenv. der beiden Ebenen, indem ich deren Richtungsv. skaliere.(Vektorprodukt).

Wäre richtig bei der parameterform.
Hier wird aber nicht üblich multipliziert (Skalarprodukt) sondern das Vektorprodukt gebildet.

$\begin{eqnarray*} \epsilon_1 : \vec n =\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \epsilon_2: \vec n =\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} x \vec n =\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix} = 21 \end{eqnarray*}$

Um den Winkel zu erhalten, muss ich diesen durch den Betrag der beiden Richtungsvec. rechnen.

$\begin{eqnarray*} \frac{21}{5,38 *5,477} = \frac{21}{29,495} = 0,711966 \end{eqnarray*}$

jetzt muss ich davon den inverscos berechnen = 44,6°

Dieser ist der kürzere Winkel und somit mein gesuchter Winkel.
Der Winkel zwischen meinen zwei Ebenen.

13.04.2013, 16:12

Dopap

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} x \vec n =\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix} = 21 \end{eqnarray*}$ ??

richtige Schreibfigur : $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix} = 21 \end{eqnarray*}$

ansonsten o.k.

13.04.2013, 16:27

Tipso

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einzige Unsicherheit hier ist der inverscos, darf ich hier auch einfach cos^{-1} schreiben?

lg

13.04.2013, 16:34

Dopap

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bei $\begin{eqnarray*} \cos^{-1}(0.7) \end{eqnarray*}$ weiss jeder was gemeint ist.

aber warum nicht sauber $\begin{eqnarray*} \arccos(0.7) \end{eqnarray*}$ schreiben?

$\begin{eqnarray*} \rm inverscos \end{eqnarray*}$ ist wohl eine deiner Sprachschöpfungen verwirrt

13.04.2013, 16:37

Tipso

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invers - umgekehrter cos, habe ich irgendwo gehört, ich glaube es war ein Lehrvideo.

ich werde dann bei arccos oder $\begin{eqnarray*} c^{-1} \end{eqnarray*}$ bleiben.

Freude

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