Länge und Breite eines Rechteckes bestimmen.

13.04.2013, 15:19

Whisky

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Länge und Breite eines Rechteckes bestimmen.

Hallo alle zusammen,

ich soll folgende Aufgabe lösen:

Die nebenstehende ist aus einem Rechteck und zwei rechtwinkligen Dreiecken zusammengesetzt.

a) Wie lang und wie breit muss das Rechteck sein, wenn der Flächeninhalt der Figur 100cm² ist und der Umfang minimal sein soll?

b) Wie lang und wie breit muss das Rechteck sein, wenn der Umfang der Figur 50 cm is und der Flächeninhalt maximal sein soll.

das Problem - ich verstehe mal wieder nur Bahnhof! unglücklich

unglücklich

Ich würde gerne einfach mal mit a) beginnen.

a*b für das Rechteck
$\begin{eqnarray*} \frac{c*h}{2} \end{eqnarray*}$ für das dreieck, da es zwei mal voranden ist, mache ich $\begin{eqnarray*} \frac{c*h}{2} * \frac{c*h}{2} = \frac{a^2}{4} \end{eqnarray*}$ daraus!

Nebenbedingung

$\begin{eqnarray*} A=a*b* \frac{a^2}{4} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 100=a*b* \frac{a^2}{4} \end{eqnarray*}$

nach einer Variablen auflösen

$\begin{eqnarray*} a*b* \frac{a^2}{4} =100 \end{eqnarray*}$ | : a

$\begin{eqnarray*} b*\frac{a^2}{4} =\frac{100}{a} \end{eqnarray*}$ | : $\begin{eqnarray*} \frac{a^2}{4} \end{eqnarray*}$

b= $\begin{eqnarray*} \frac{100}{a} \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} \frac{a^2}{4} \end{eqnarray*}$

Jetzt bin ich mir absolut unsicher, ob ich das so machen kann Big Laugh

Big Laugh

b= $\begin{eqnarray*} \frac{100}{a} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \frac{4}{a^2} \end{eqnarray*}$

ich denke, dass ich da eher auf dem Holzweg bin smile

smile

Für den Schubs in die richtige Richtung wäre ich sehr Dankbar!

Gruß

13.04.2013, 17:14

sulo

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RE: Länge und Breite eines Rechteckes bestimmen.
Hat man sich das Ganze so (grobe Skizze) vorzustellen?

[attach]29568[/attach]

Welche Seite ist dann a, welche ist b?

Zu deiner Rechnung:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{c*h}{2} \end{eqnarray*}$ für das dreieck, da es zwei mal voranden ist, mache ich $\begin{eqnarray*} \frac{c*h}{2} * \frac{c*h}{2} = \frac{a^2}{4} \end{eqnarray*}$ daraus!

Das kann ich nicht nachvollziehen. verwirrt

verwirrt

Mache dir mal Gedanken über die Verhältnisse in den Dreiecken. Was kannst du über die Höhe sagen?

Weiterhin hast du die NB insofern nicht richtig aufgestellt, als dass du in die vierte Dimension gerätst. Augenzwinkern

Augenzwinkern

smile

14.04.2013, 14:09

Whisky

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HI Sulo,

vielen Dank für deine Antwort! smile

smile

Ja, so kann man sich da vorstellen!

a ist die höhe und b die länge...

Zitat:

Das kann ich nicht nachvollz Augenzwinkern Mache dir mal Gedanken über die Verhältnisse in den Dreiecken. Was kannst du über die Höhe sagen?

Die höhe ist gleich mit a?

Zitat:

Weiterhin hast du die NB insofern nicht richtig aufgestellt, als dass du in die vierte Dimension gerätst.

dann nur a²/2? smile

smile

Gruß

14.04.2013, 16:12

sulo

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Nein, die Höhe im Dreieck kann nicht a sein.

Ich würde auch weniger raten, sondern eher rechnen oder zumindest nachdenken. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Du befindest dich in einem rechtwinkligen, gleichschenkligen Dreieck. Du kannst den Pythagoras für die Berechnung der beiden gleichen Schenkel nehmen, wenn du möchtest.
Und wenn du die Schenkellänge kennst, kannst du auch h berechnen.

Alternativ kannst du dir auch anhand der im Dreieck vorliegenden Winkel Gedanken über die Länge der Strecken machen.
Auf diesem Weg kannst du h ohne Rechnen bestimmen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

smile

15.04.2013, 11:09

Whisky

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OK! das Problem ist, dass ich über die meisten Dinge die du vorschlägst, mal so gar keine Ahung habe Big Laugh

Big Laugh

Dreieck berechne ich: Kathete² + Kathete² =Hypotenuse² (a²+b²=d²)

Wenn ich, nur das Rechteck hätte,
dann wäre es,

Formel : $\begin{eqnarray*} d=\sqrt{a^2 + b^2} \end{eqnarray*}$

Nebenbedingung a*b=100

nach einer Variablen auflösen

$\begin{eqnarray*} b=\frac{100}{a} \end{eqnarray*}$

Zielfunktion:
d(a)= $\begin{eqnarray*} \sqrt{a^2 + \frac{100}{a}^2} \end{eqnarray*}$

dann in den GtR eingebe und lokales Minimum ermitteln!

Aber mir fehlen ja noch die Dreiecke unglücklich

unglücklich

15.04.2013, 13:15

sulo

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Zitat:

Dreieck berechne ich: Kathete² + Kathete² =Hypotenuse² (a²+b²=d²)

Genau. Und das mache mal für dein gegebenes Dreieck.

Nenne die Hypotenuse a und bedenke, dass die Katheten gleich sind.
Dann kannst du die Länge einer Kathete berechnen.

Und anschließend begibst du dich in ein Teildreieck und machst das Gleiche noch mal.
Dann ist die Hypotenuse die eben errechnete (ehemalige) Kathete, die beiden neuen Katheten sind a/2 und die zu ermittelnde Höhe.

smile

smile

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15.04.2013, 14:02

Whisky

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Ich verstehe nicht, wie ich die Längen ohne Werte berechnen soll.
Ich weiß doch gar nicht, wie lang die Katheten sind smile

smile

15.04.2013, 18:21

sulo

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Bitte mache keine Vollzitate, ich werde die bereits gemachten entfernen.

Die Katheten nenne x, die Hypotenuse ist a.

Du kannst die Länge der Katheten als Ausdruck mit a darstellen. Setze entsprechend ein:

Zitat:

Kathete² + Kathete² =Hypotenuse² (a²+b²=d²)

(Über die Winkel ist das alles wesentlich einfacher, aber du solltest auch in der Lage sein, diese einfachen Berechnungen zu verstehen. Ich nehme an, du gehst in die Oberstufe, oder? )

smile

smile

15.04.2013, 21:27

Whisky

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HI,

ja Oberstufe! Sorry, ich weiß leider trotzdem nicht, wie das geht oder worauf du hinaus möchtest smile

smile

Zitat:

Die Katheten nenne x, die Hypotenuse ist a. Du kannst die Länge der Katheten als Ausdruck mit a darstellen. Setze entsprechend ein:

dann wäre x*x=a, da ich das Drei eck zwei mal habe a² !?

Gruß

16.04.2013, 09:30

Whisky

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Ich denke,

die Nebenbedingung müsste 100= a*b + $\begin{eqnarray*} \frac{a^2}{2} \end{eqnarray*}$

soweit ich weiß, müsste ich das jetzt nach einer Variablen auflösen.
Oder?

16.04.2013, 10:26

sulo

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Zitat:

Original von Whisky
dann wäre x*x=a, da ich das Drei eck zwei mal habe a² !?

Soll das der Pythagoras sein? verwirrt

verwirrt

Ich finde es auch schade, dass du so selten anwesend bist. So findet kein vernünftiger Dialog statt und wir werden noch 3 Wochen brauchen, bis wir fertig sind.
Ich muss zudem das Papier mit der Rechnung ewig hier liegen haben bzw. immer wieder neu starten.

Wäre schön, wenn wir mal durcharbeiten könnten.

smile

smile

16.04.2013, 11:26

Nubler

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is die gleichschenkligkeit der dreiecke vorgegeben?

16.04.2013, 11:34

sulo

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Davon muss ausgegangen werden, sonst wüsste ich nicht, wie die Aufgabe sinnvoll berechnet werden kann.
Leider hat Whisky keine Zeichnung gepostet, obwohl es eine zu geben scheint.
Dort ist dann vermutlich ersichtlich, dass die Dreiecke gleichschenklig sind.

(Gut, man kann auch mit beliebigen rechtwinkligen Dreiecken arbeiten, aber dann sieht man vor lauter Variablen keine klare Linie mehr, und darauf möchte ich in diesem Thread und angesichts des bisherigen Verlaufs ungern verzichten.
Bei Bedarf kann man ja nach dem Lösen der Aufgabe das Ganze für allgemeine rechtwinklige Dreiecke durchrechnen.)

16.04.2013, 14:40

Whisky

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HI,

leider bin ich immer gerade dann Online, wenn du es nicht zu sein scheinst smile

smile

Dazu kommt, dass mein Vorwissen nicht aureicht und ich, sobald Du was geschrieben hast, erstmal das Netz nach gewissen Sachen durchforsten muss. Z.B. wie Pythagoras funktioniert. Ansonsten würde wir hier Raterunde spielen. Ich glaube, dass wäre noch weniger in deinem Sinn!
Ich würde es ebenfalls gerne durch haben. Besonders, da es sich ja nur um Aufgabe a) handelt Big Laugh

Big Laugh

Nein Pythagoras wäre: x²*x²=a²

Die Zeichnung von sulo war schon ganz treffend! Tut mir leid wegen der fehlenden Zeichnung. Ich wusste nicht, dass sie so wichtig ist. smile

smile

Gruß

16.04.2013, 17:29

sulo

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Zitat:

Original von Whisky
Nein Pythagoras wäre: x²*x²=a²

Nicht wirklich....

Zitat:

Dreieck berechne ich: Kathete² + Kathete² =Hypotenuse² (a²+b²=d²)

Es muss also eine Summe stehen, kein Produkt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wie kommt man in die Oberstufe mit solchen Lücken in den Grundlagen? verwirrt

verwirrt

Vielleicht wäre es sinnvoll, wenn du dir für eine gewisse Zeit einen persönlichen Nachhilfe-Unterricht besorgst. Es muss nicht gleich ein Institut sein, ein älterer Schüler wäre bestimmt nicht zu teuer und es würde mit Sicherheit einiges bringen.

smile

smile

16.04.2013, 21:31

Whisky

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Hi,

Zitat:

Es muss also eine Summe stehen, kein Produkt.

Ich weiß lediglich, dass der Inhalt eines Dreiecks a²/4 ist und das von beiden zusammen der Inhalt a²/2 ist!
Ich kann jetzt versuchen aus der Information, die ich gesammelthabe, Rückschlüsse zu zeiehn.
Das rechtwinklige Dreieck ist 1/4 eines quadrat, deren Formel zur Flächenberechnung a*a=a²!
Somit ist der Flächeninhalt des Dreiecks

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ a² also $\begin{eqnarray*} \frac{a^2}{4} \end{eqnarray*}$
2 rechtwinklige Dreiecke sind ein Halbes Quadrat also $\begin{eqnarray*} \frac{a^2}{2} \end{eqnarray*}$

somit kommt die Nebenbedingung zustande: 100=a*b+ $\begin{eqnarray*} \frac{a^2}{2} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Wie kommt man in die Oberstufe mit solchen Lücken in den Grundlagen?

Lange aus der Schule raus. Zweiter Bildungsweg. Vorher HS. nachilfe hatte ich, war enttäuschend schlecht und im Moment geht es finanziell nicht. Muss aber auch nur noch das Schuljahr umkriegen und alle Klausurenin Mathe sind geschrieben. Von daher muss es so weitergehen smile

smile

Ich werde morgen ca ab 9:30 Online sein smile

smile

16.04.2013, 21:51

sulo

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Zitat:

Ich weiß lediglich, dass der Inhalt eines Dreiecks a²/4

Ja, das ist richtig. Freude

Freude

Aber ich konnte zuvor deine Rechnung zu diesem Ergebnis nicht nachvollziehen.
Jetzt sehe ich besser, wie du zu der Lösung gekommen bist.

Deine NB ist auch richtig aufgestellt. Freude

Freude

Dennoch haben wir immer noch nicht x bestimmt, also die Kathetenlängen der Dreiecke.

x² + x² = a²
2x² = a²

Das musst jetzt nach x umgestellt werden.

Leider bin ich morgen um 10 Uhr beim Zahnarzt.
Glaube mir, ich würde lieber hier im Board sein. Big Laugh

Big Laugh

Wink

16.04.2013, 22:19

Whisky

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HI,

Wink

ich war gestern und heute beim Zahnarzt und muss nochmal im Mai! ich fühle also mit Dir! smile

smile

x² + x² = a²
2x² = a² | :2
$\begin{eqnarray*} \frac{a^2}{2} \end{eqnarray*}$ =x² | \sqrt{}
x= $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{a^2}{2}} \end{eqnarray*}$

Dann ist die Hauptbedingung

$\begin{eqnarray*} U=2 *b+4*\sqrt{\frac{a^2}{2}} \end{eqnarray*}$

Ich werde mich mal ran setzen und a und b versuchen fertig zu machen und es morgen Posten!
Ich danke dir für deine Hilfe und Geduld und wünsche Dir viel Spaß beim Zahnarzt smile

smile

Freude

16.04.2013, 22:32

sulo

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Zunächst: Die HB stimmt. Freude

Freude

$\begin{eqnarray*} x=\sqrt{\frac{a^2}{2}} \end{eqnarray*}$ ==> $\begin{eqnarray*} x= a\sqrt{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Augenzwinkern

Man könnte den gesamten Ausdruck etwas umformen:

$\begin{eqnarray*} U=2 *b+4*\sqrt{\frac{a^2}{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} U=2 *b+a \sqrt{\frac{16}{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} U=2 *b+a \sqrt{8} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} U=2 b+2a \sqrt{2} \end{eqnarray*}$

Ist im Prinzip das gleiche wie deine Darstellung, nur etwas vereinfacht.
Ich hoffe, dass du die Umformung nachvollziehen kannst, sonst bleibe bei deiner Darstellung.

smile

smile

Vielen Dank für die guten Wünsche. :-)

17.04.2013, 11:03

Whisky

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Aufgabe a)

Nebenbedingung:

100=a*b+ a²/2

Kathetenlänge ermitteln:

x² + x²=a²
2x²=a² |:2
x²=a²/2 | $\begin{eqnarray*} \sqrt{} \end{eqnarray*}$
x= $\begin{eqnarray*} \sqrt{a^2/2} \end{eqnarray*}$

Nebenbedingung nach b auflösen:
100=a*b+a²/2 |-a²/2
100-a²/2=a*b |:4
100/a -a/2= b (hier habe ich a²/2*a gekürzt)

HB::
U= 2*b+4* $\begin{eqnarray*} \sqrt{a^2/2} \end{eqnarray*}$

b einsetzen in die Hauptbedingung:
U=2*(100/a - a/2)+ 4* $\begin{eqnarray*} \sqrt{a^2/2} \end{eqnarray*}$
=200/a-a+ $\begin{eqnarray*} \sqrt{a^2/2} \end{eqnarray*}$

Minumum laut TGR : x= 10,46 und y=38.25

Jetzt würde ich sagen, dass ganze nochmal mit dem Wert von Aufgabe b) und dann das maxima! nein stimmt nicht, die Aufgabenstelliung ist eine ganz andere unglücklich

unglücklich

Oder doch???

17.04.2013, 11:11

sulo

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Deine Lösung für a kann ich bestätigen Freude

Freude

, aber was ist y? verwirrt

verwirrt

17.04.2013, 11:33

Whisky

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b ist 4,33

ich habe a einfach in der Auflösung von b getan und hatte den wert raus--- mehr Glück als verstand Big Laugh

Big Laugh

17.04.2013, 11:38

sulo

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Ja, b ist auch richtig. Freude

Freude

(Genauer: b = 4,322986662..., gerundet zu 4,32).

Für die nächste Aufgabe müssen wir HB und NB vertauschen. Da wir aber x und b schon umgeformt haben als Ausdrücke mit a, sollte das schneller gehen.

Ich muss leider erst mal off und habe heute einen langen Tag. Werde wohl erst gegen 22 Uhr an den PC kommen, wenn überhaupt.

Wink

Wink

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